《八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理14.1.2直角三角形的判定学案（新版）华东师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理14.1.2直角三角形的判定学案（新版）华东师大版（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12 2 直角三角形的判定直角三角形的判定课前知识管理课前知识管理 1.1.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理“如果三角形三边分别为 a、b 、c，且满足 a b c .那么这个三角形是直角三角222形 ” 我们在判断一个三角形是不是直角三角形时，可直接运用这个逆定理如图所示，在ABC 中，如果 AC BC AB ，那么ABC 就是直角三角形 2222 2勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别联系：联系：（1）两者都与 a b c 有关， （2）两者所讨论的问题都是直角三角形.222区别区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角
2、形三边的数量关系， “a b c ” ；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足222a b c ”为条件，进而得到这个三角形是直角三角形，是判别一个三角形是否是直角222三角形的一个方法 名师导学互动名师导学互动 典例精析典例精析： 知识点知识点：勾股定理逆定理例 1、已知三角形的三边长分别为7，40，42；53，54，1；2mn， （m2-n2） ， （m2+n2）2，是直角三角形的序号是 .【解题思路解题思路】运用勾股定理的逆定理判断.对于72+402=49+1600=1649 ，422末位是 4，故72+402422；对于 （53）2+（54）2=259+2516=2525=1；对
3、于（2mn）2+（m2n2）2=4m2n2+m42m2n2+n4=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2.【解解】填. 【方法归纳方法归纳】如果三角形的三边长 a、b、c（c 为最大边）有下面关系 a2+b2=c2，那么这个 三角形是直角三角形. 对应练习对应练习：如图所示，在某市的地图上有三个景点 A、B、C，已知景点 A、B 之间的距离为 04cm，景点 C、D 之间的距离为 03cm，景点 A、C 之间的距离为 05cm，问这三个景点 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？知识点知识点 2 2：勾股定理及其逆定理的综合运用例 2、 如图，在四边形中，且，ABCD90A3AB 12BC
4、13CD ，求四边形的面积4AD ABCD2【解题思路】连接，由已知条件，易知，抓住数字特征：“，”,联BD5BD 51213 想勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，于是，求出与的BCDRtABDRtBCD 面积之和，即为四边形的面积ABCD【解】连接，由，知是直角三角形，由勾股定理，得BD90AABD又，即，所以22BDABAD2234522251213222BDBCCD是直角三角形于是，BCD113 4622ABDSAB AD A，115 123022BCDSBDBC 63036ABDBCDABCDSSS四边形【方法归纳方法归纳】在运用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形时，一是要根
5、据三角形 中的三条边，看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方；二是注意将一组勾股数同时扩 大或缩小同样的倍数所得数仍是勾股数 对应练习对应练习：如图，ABC 和DCE 都是边长为 2 的等边三角形，点 B、C、E 在同一条直线上， 连结 BD，则 BD2的长为 .知识点知识点 3 3：运用勾股定理逆定理判定三角形的形状判定三角形的形状 例 3、已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，a=n21，b=2n，c=n21（n1）判定ABC 是否为直角三角形 【解题思路解题思路】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判 断那条边最大分别用代数方法计算出 a
6、2+b2和 c2的值判断 a2+b2和 c2是否相等，若 相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形 【解解】由于 a2+b2=（n21）2（2n）2=n42n21，c2=（n21）2= n42n21，从而 a2+b2=c2，故可以判定ABC 是直角三角形 【方法归纳方法归纳】要证C=90，只要证ABC 是直角三角形，并且 c 边最大，根据勾股定理的 逆定理只要证明 a2+b2=c2即可知识点知识点 3 3：运用勾股定理逆定理计算线段长度 例 4、如图，在 ABC 中，D 是 BC 边上的点，已知 AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求 DC 的 长3【解题思路解题思路】已经知
7、道了 AD=12，AC=15，要求 DC 的长，只需知道ADC 为直角即可，而 ABD 的三边知道，可以由勾股定理逆定理判定ADB 为直角，从而得出ADC 为直角. 【解解】在 ABD 中，由 AD2+BD2=122+52=132=AB2,可知 AD2+BD2=AB2，则由勾股定理的逆定理知 ADB= 90，在 RtADC 中，DC2 =152-122=81=92.所以 DC=9. 【方法归纳方法归纳】当题目中要求的问题与线段的长有关时，用勾股定理来解答是常见思路. 对应练习对应练习：已知:如图,在ABC 中,AB=17,BC=16,BC 边上的中线 AD=15.求证: ABC 为等腰 三角形
8、.知识点知识点 4 4：运用勾股定理逆定理计算图形面积 例 4、如图所示，在四边形 ABCD 中，A=90，且 AB=9，BC=20，CD=12，求四边形 ABCD 的 面积. 【解题思路解题思路】连结 BD,如图,由已知条件易知 BD=15,通过观察“15,20,25”这组数,可知这组 数是我们熟悉的一组勾股数,那么根据勾股定理的逆定理可得BCD 是直角三角形,于是,求 出 RtABD 与 RtBCD 的面积之和,即可求得四边形 ABCD 的面积. 【解解】连结 BD,如图.由A=90知ABD 是直角三角形,根据勾股定理得 BD2=AB2+AD2=92+122=225=152，所以 BD=1
9、5. 又因为“15、20、25”是一勾股数,即 152+202=252,故 BD2+BC2=CD2，则根据勾股定理的逆定 理可得BCD 是直角三角形,故有：150201521 21,5412921 21ABDBCBDSADABSBCDS四边形 ABCD=SABD+SBCD=54+150=204. 【方法归纳方法归纳】要求三角形的面积，首先要确定这个三角形的形状，是否是直角三角形，可由 直角三角形的判别方法来判别，如果是直角三角形，它的面积就易于求得，若不是直角三角 形，其面积也能求出，但过程相对要繁琐些.对应练习对应练习：有如图所示的一块地,已知 AD=4 米,CD=3 米, AB=13 米,
10、BC=12 米,求,900ADC这块地的面积.4知识点知识点 5 5：运用勾股定理逆定理证两角互补例 5、已知:如图,AB=20,BC=15,CD=7,DA=24, .求证:A 与C 互补.090B【解题思路解题思路】由勾股定理,求得 AC,加上其他条件,再由勾股定理的逆定理知ADC 也为直角 三角形,再求得角度的关系.【解解】连结 AC,在 RtABC 中,由勾股定理,得而在ADC 中,.6252015222AC故由勾股定理的逆定理知ADC 也为直角三角形.,62572422222ACCDADDAB+DCB=-B-D=即A 与C 互补.0360,18090903600000【方法归纳方法归纳
11、】在ADC 中运用勾股定理逆定理判断三角形形状，进而计算出D 的度数. 对应练习对应练习：如图,正方形 ABCD 的边长为 4,E 是 BC 的中点,F 在 CD 上,且 DF=3CF.求证:AEEF. （提示：连接 AF）知识点知识点 6 6：运用勾股定理逆定理求角度数例 6、在四边形 ABCD 中,已知：AB:BC:CD:DA=2:2:3:1,且求DAB.,900B【解题思路解题思路】根据 AB:BC=2:2, 所以ABC 是等腰直角三角形，所以,900B再根据勾股定理的逆定理判定,450BAC.900DAC【解解】连结 AC,设 DA=x,则 AB=BC=2x,CD=3x.故在 RtAB
12、C 中, 由勾股定理，得,450BAC由勾股定理的逆定理知DAC 为直角三角形， .822222222xxxBCABAC5故,900DAC.1359045000DAB【方法归纳方法归纳】已知线段的比时，可引入辅助元素来表示. 对应练习对应练习：如图所示，在ABD 中，A 是直角，AB3，AD 4，BC12，DC12，求 BDC 的度数.知识点知识点 7 7：勾股数 例 7、下列各组数是勾股数是的有 （只填序号）. 12，15，18； 3，4，5； 1.5，2，2.5.【解题思路解题思路】因为，所以，所以 12、15、18 不32418,3691512222222181512是勾股数；因为，所以
13、，所以 3，4，5 是勾股数；虽然255 ,2543222222543，但 1.5、2.5 不是整数，所以 1.5、2、2.5 不是勾股数.2225 . 225 . 1【解解】填.【方法归纳方法归纳】满足的三个正整数称为勾股数。每组勾股数的整数倍仍是勾股数，例如 3、4、5 是一组勾股数，3、4、5 的 2 倍 6、8、10，3 倍 9、12、15 等都是勾股数.给 定三个正整数，只要能验证其中最大的数的平方等于其他两数的平方和，这组数就一定是勾 股数.对应练习：试说明（其中大于 1 的正奇数）是一组勾股数.21,21,22nnnn易错警示易错警示 1、审题不仔细，受定势思维影响例 8、 在A
14、BC 中，的对边分别为，且，则（ ,ABC, ,a b c2()()ab abc）（A）为直角 （B）为直角 （C）为直角 （D）不是直角三角形ACB 错解：选（B）错解分析：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为，因而有同学就习惯性C 的认为就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件C应转化为，即，因根据这一公式进行判断.222abc222abc正解：，.故选（A）222abc222abc2、概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理 例 9、 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）（A）1、2、3 （B） （C） （D）2223 ,4 ,51
15、,2, 33,4, 56错解：选（B） 错解分析：未能彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足的形式.222abc正解：因为，故选（C）. 222123课堂练习评测课堂练习评测 考点考点 1 1：用勾股定理逆定理判定三角形形状：用勾股定理逆定理判定三角形形状 1、三角形的三边为（1）9，40，41；（2）4，6，8；（3）6，8，10；（4） 5，13，12；（5）24，25，7；（6）8，15，16，其中能构成直角三角形的有（ ） A、3 组 B、4 组 C、5 组 D、6 组 2、如图所示，A、B、C 分别表示三个村庄，AB1000 米，BC600 米，AC800 米，在社会 主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活
