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1、图4.2 方波信号的傅里叶级数例41 试将图4.2所示的方波信号f(t)展开 为傅里叶级数。方波信号f(t)展开为傅里叶级数解 我们将信号按式(46)分解成傅里叶级数, 并按式(4 7)、(48)、(49)分别计算an, bn 及c。 例 3.3-1 试画出f(t)的振幅谱和相位谱。 解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据 可知，其基波频率=(rad/s)，基本周期T=2 s，=2、3、 6 分别为二、 三、六次谐波频率。且有 振幅谱和相位谱例题其余 图 3.3-1 例 3.3-1 信号的频谱 (a) 振幅谱；(b) 相位谱 图 3.3-2 例 3
2、.3-1 信号的 双边频谱 (a) 振幅谱； (b) 相位谱 例 3.4-2 求指数函数f(t)的频谱函数。 图 3.4-2 单边指数函数e-t及其频谱 (a) 单边指数函数e-t; (b) e-t的幅度谱 单边指数函数f(t)的频谱函数其振幅频谱及相位频谱分别为 解 (441) (440) 单边指数信号的频谱例44 求单边指数信号的频谱。解 单边指数信号是指图4.7 单边指数信号及其频谱例 3.4-3 求图 3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。 偶对称双边指数函数的频谱函数图 3.4-3 双边指数函数及其频谱 (a) 双边指数函数； (b) 频谱 (442)从频谱函数的定义式出发(4
3、43) 例45 求双边指数信号的频谱。解 双边指数信号是指偶对称双边指数信号的频谱图4.8 双边指数信号及其频谱例 3.4-4 求图 3.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。图 3.4-4 例 3.4-4 图 (a) 信号f(t); (b) 频谱 奇对称双边指数函数的频谱函数(a0)解 图示信号f(t)可表示为例 3.4-1 图 3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为， 高度为1，通常用符号g(t)来表示。试求其频谱函数。 解 门函数g(t)可表示为 门函数的频谱函数图 3.4-1 门函数及其频谱 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱 图
4、4.6 矩形脉冲信号及其频谱 矩形脉冲信号g(t)的频谱例43 求矩形脉冲信号g(t)的频谱。(436) g(t)的傅里叶变换为 (437)(438)(439) 解 矩形脉冲信号g(t)是一个如图4.6（a）所 示的门函数。其定义为例 3.4-5 求单位冲激函数(t)的频谱函数。 图 3.4-5 信号(t)及其频谱 (a) 单位冲激信号(t); (b) (t)的频谱 (t)的频谱函数解 可见，冲激函数(t)的频谱是常数1。也就是说，(t)中包含了所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。 显然， 信号(t)实际上是无法实现的。 根据分配函数关于(t)的定义， 有 (434) (435)
5、冲激信号(t)的频谱例42求冲激信号(t)的频谱。 解 由频谱函数的定义式有图4.5 冲激信号及其频谱(475) 移位冲激函数(t-t0)的频谱函数例412求移位冲激函数(t-t0)的频谱函数。解 由于已知冲激函数(t)的频谱函数为1, 求移位冲激函数(t-t0)的频谱函数，此时可利 用傅里叶变换的时移特性式(474)。例 3.4-6 求直流信号1的频谱函数。 图 3.4-6 直流信号f(t)及其频谱 (a) 直流信号f(t); (b) 频谱 直流信号1的频谱函数解 直流信号1可表示为 (445) (446) 例46 求单位直流信号的频谱。解 幅度为1的单位直流信号可表示为f(t)=1,-0)
6、(4-51)符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在取极限趋近0时的一 个特例:例 3.4-8 求阶跃函数(t)的频谱函数。 由阶跃函数(t)的波形容易得到 解 从而就可更为方便地求出(t)的频谱函数， 即 阶跃函数(t)的频谱函数图 3.4-8 阶跃函数及其频谱(a) (t)的波形； (b) 频谱 例 3.5-1 求图 3.5-1(a)所示信号的频谱函数。 图 3.5-1 例 3.5-1 的图 (a) f(t)的波形； (b) 相位谱 门(平移后)信号的频谱函数解 例411 已知求g(2t)的频谱函数解 根据傅里叶变换的尺度变换性 质,g(2t)的频谱函数为尺度变换求频谱图4.13 尺度变换
7、图4.11 单边指数信号及其频谱例49利用奇偶虚实性求图4.11单边指数信 号f(t)=2e-t u(t)的频谱。利用奇偶虚实性求频谱解 从波形图（a）上可见,单边指数信号 f(t)是非偶非奇函数,但可分解为如图（b）, （c）所示的偶函数和奇函数两部分,见下式 。f(t)=2e-t u(t)=fe(t)+fo(t)其中例 3.5-2 求高频脉冲信号f(t)(图 3.5-2(a)的频谱。 图 3.5-2 高频脉冲信号及其频谱 (a) f(t)的波形； (b) 频谱 高频脉冲信号f(t) 的频谱解 图3.5-2(a)所示高频脉冲信号f(t)可以表述为门函数g(t)与cos 0t相乘，即 例413
8、 求高频脉冲信号 p(t)=g(t)cos0t 的频谱函数解 由于高频脉冲信号的频谱函数故有 根据频移特性有图4.14 频移特性 例 3.5-4 求图 3.5-5(a)所示梯形信号f(t)的频谱函数。解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jt的繁复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有 梯形信号f(t)的频谱函数图 3.5-5 梯形信号及其求导的波形据时移性质有图 3.5-6 另一种梯形信号 图4.15 梯形脉冲的傅里叶变换梯形脉冲的傅里叶
9、变换例414 求图4.15所示梯形脉冲的傅里叶变换。解 梯形脉冲可看作是两个不同宽度的矩形脉冲f1(t)与f2(t)的卷积，如图4.15所示。f(t)=f1(t)*f2(t)而矩形脉冲的傅里叶变换已在例43中求出,具体来说图4.16 半波正弦脉冲图4.17 三角形脉冲及其一、二街导的波形例 3.6-1 求图 3.6-1(a)所示周期矩形脉冲f(t)的频谱函数F(j)。 图 3.6-1 周期矩形脉冲信号及其频谱 (a) f(t)的波形； (b) 复振幅Fn; (c) 频谱函数F(j) 周期矩形脉冲f(t)的频谱函数解 周期矩形脉冲f(t)的复振幅Fn为 例 3.6-2 图3.6-2(a)为周期冲
10、激函数序列T(t)，其周期为T，T(t)可表示为 m为整数 图 3.6-2 周期冲激序列及其频谱 周期冲激函数序列T(t)的频谱解 先求T(t)的复振幅Fn： 设一周期信号fT(t)，其周期为T，fT(t)中位于第一个周期的信号若为fa(t)，则不难得到 已经知道 例 3.8-1 已知激励信号f(t)=(3e-2t-2)(t)，试求图 3.8-1 所示电路中电容电压的零状态响应uCf(t)。 图 3.8-1 例 3.8-1 的图 用频域分析法求响应注意到()的取样性质，并为了较方便地求得UCf(j)的逆变换，将UCf(j)按如下形式整理: 图 4.19 例420如图4.19所示,试分析单位阶跃
11、信 号u(t)通过RC高通网络传输后的波形。 用频域法求响应则按H()的定义有对于单位阶跃信号u(t)而言,此时 解 显然,当输入信号uS(t)为复指数信号e jt时 ,如图有最后一步考虑了冲激函数的取样性质。因此例 3.8-2 如图 3.8-2(a)所示系统，已知乘法器的输入 s(t)的波形如图 3.8-2(b)所示，系统函数 用频域分析法求响应图 3.8-2 例 3.8-2 图 (a) 系统组成； (b) s(t)的波形 先求f(t)的傅里叶变换F(j)，由于 再求s(t)的傅里叶变换S(j)。由于s(t)为周期信号，T=1ms，则, 因而有 图 3.8-3 y(t)的求解 例 3.8-3 已知系统函数H(j)如图3.8-4(a)所示，试求在f(t)(图3.8-4(b)作用下系统的输出y(t)。 解 周期信号f(t)可以表示为傅里叶级数： 由T=4s可知， 。 考虑到H(j)的低通特性，当|n|时H(jn)=0，即|n|2 时H(jn)=0，则 用频域分析法求响应图 3.8-4 例 3.8-3 图
