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1、控制系统状态空间表达式基本概念状态空间表达式的建立状态空间表达式求传递函数矩阵离散系统的数学模型线性变换组合系统的数学描述基本概念状态动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合 。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。状态变量确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量 在任意初始时刻 的值以及 的系统输入，便能够完整地 确定系统在任意时刻 的状态。（状态变量的选择可以不同）状态空间以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交 线性空间，称为状态空间。状态方程描述系统状态变量和输入量之间关系的方程。输出方程描述系统输出量和状态变量之间关系的方程。系统的状态方程和输出方程总合，称为系
2、统状态空间表达式，或 称为系统动态方程，或称系统方程。基本概念例：如下图所示电路， 为输入量， 为输出量。建立方程：初始条件：和 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态 变量前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：基本概念基本概念设：则可以写成状态空间表达式：推广到一般形式：A：系统矩阵B：输入（控制）矩阵C：输出矩阵D：直接传递矩阵基本概念基本概念如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这样的系 统为线性定常（LTI，即：Linear Time-Invariant）系统。如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变系统。基本概念状态变量的选取
3、（1） 状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定（2）状态变量选取的非惟一性（3）系统状态变量的数目是惟一的在前面的例子中，如果重新选择状态变量则其状态方程为输出方程为：状态空间表达式的建立三种途径：由系统方块图建立首先将系统方块图转换为相应模拟结构图，然后直接 列写。由系统物理或电气特性出发进行推理由系统高阶微分方程或传递函数演化推理状态空间表达式的建立由系统物理或电气特性出发进行推理例 建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注： 质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消）根据牛顿第二定律即：选择状态变量则：状态空间表达式的建立机械系统的系统方程为该系统的状态图如下状态空间表达
4、式的建立例 建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式电枢回路的电压方程为系统运动方程式为（式中， 为电动势常数； 为转矩常数； 为折合到电动 机轴上的转动惯量； 为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）可选择电枢电流 和角速度 为状态变量，电动机的电 枢电压 为输入量，角速度 为输出量。状态空间表达式状态图如图：状态空间表达式的建立由系统高阶微分方程或传递函数演化推理微分方程中不含有输入信号导数项考察三阶系统，其微分方程为：选取状态变量则有写成矩阵形式状态空间表达式的建立状态图如下：状态空间表达式的建立一般情况下，n 阶微分方程为：选择状态变量如下：状态空间表达式的建立写成矩阵形式：状态空间表达
5、式的建立系统的状态图如下：状态空间表达式的建立微分方程中含有输入信号导数项首先考察三阶系统，其微分方程为（一）待定系数法选择状态变量：其中，待定系数为：状态空间表达式的建立于是写成矩阵形式状态空间表达式的建立系统的状态图状态空间表达式的建立一般情况下，n 阶微分方程为：选择 n 个状态变量为状态空间表达式的建立系统方程为状态空间表达式的建立 系统状态图如下状态空间表达式的建立（二）辅助变量法设 n 阶微分方程为：Laplace变换，求传递函数引入辅助变量 z状态空间表达式的建立返回到微分方程形式：以及选择状态变量如下：状态空间表达式的建立注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。状
6、态空间表达式的建立例 已知描述系统的微分方程为试求系统的状态空间表达式。解 （1）待定系数法选择状态变量如下其中状态空间表达式的建立于是系统的状态空间表达式为状态空间表达式的建立（2）辅助变量法引入辅助变量z选择状态变量于是系统的状态空间表达式为状态空间表达式求传递函数矩阵在初始松弛时（即：初始条件为零） ，求Laplace变换，并且化简 状态变量对输入量(输入到状态)的传递函数输出量对输入量(输入到输出)的传递函数（即：传递函数）单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为状态空间表达式求传递函数矩阵例 系统状态方程式为求系统传递函数。解：状态空间表达式求传递函数矩阵多输入-多输出系统 状态空间
7、表达式为进行拉普拉斯变换如果 存在，则如果 ，则状态变量对输入向量(输入到状态)的传递函数矩阵：状态空间表达式求传递函数矩阵而输出对输入向量(输入到输出)的传递函数矩阵：其结构为式中， 表示只有第 j 个输入作用时，第 i 个输出量 对第 j 个输入量 的传递函数。状态空间表达式求传递函数矩阵例 线性定常系统状态空间表达式为求系统的传递函数矩阵。解传递函数（矩阵）描述和状态空间描述的比较：1）传递函数是系统在初始松弛的假定下输入-输出间的关系描述， 非初始松弛系统，不能应用这种描述；状态空间表达式即可以描述 初始松弛系统，也可以描述非初始松弛系统。2）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表
8、达式可以在定 常系统中应用，也可以在时变系统中应用。3）对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立状态空间表达式 ；用实验法获得频率特性，进而可以获得传递函数。4）传递函数仅适用于单入单出系统；状态空间表达式可用于多入 多出系统的描述。5）传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式不仅给 出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。综上所示，传递函数（矩阵）和状态空间表达式这两种描述各 有所长，在系统分析和设计中都得到广泛应用。离散系统的数学模型首先，考察三阶差分方程差分方程中不含有输入量差分项选取状态变量写成矩阵形式离散系统的数学模型可以表示为其中输出方程或者其中离散系统的数学模型 推广到n
9、阶线性定常差分方程所描述的系统选取状态变量 ， ， ， 系统状态方程输出方程线性变换状态变量的选取是非唯一的。选择不同的状态变 量，则得到的状态空间表达式也不相同。由于它们都是同一个系统的状态空间描述，它们 之间必然存在某种关系。这个关系就是矩阵中的线性 变换关系。求线性变换的目的：将系统矩阵变成为标准形，便 于求解状态方程。线性变换线性定常系统 （1）为n 维状态向量； 为r 维输入向量； 为m维输出向量；、 、 、 为相应维数的矩阵。引入非奇异变换矩阵P或者代入方程（1）其中线性变换于是，系统状态方程变为（2）方程（1）与方程（2）互为等价方程线性变换线性变换的基本性质1. 线性变换不改变
10、系统的特征值线性定常系统系统的特征方程为等价系统的特征方程为可见线性变换不改变系统的特征值线性变换2. 线性变换不改变系统的传递函数矩阵时的传递函数矩阵可见，经过线性变换，系统的传递函数矩阵不改变线性变换化系数矩阵 A 为标准形即：对角形、约当形、模态形 设 是 矩阵 A 的特征值，如果存在一个n 维非零向量 使 或成立，则称 为 A 的对应于特征值 的特征向量 而1. 化矩阵 A 为对角阵若n 个特征值互异，则令线性变换例 将矩阵 化为对角阵解解出变换矩阵线性变换如果矩阵 A 具有这样形式范德蒙特矩阵变换矩阵线性变换2. 化矩阵 A 为约当形如果矩阵 A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小
11、于n ,这 时不能化为对角阵，只能化为约当形。线性变换确定变换矩阵可以得到：变换矩阵为线性变换例 化矩阵 为标准形矩阵解得出求二重特征根对应的特征向量线性变换得到而由得到线性变换求特征值 对应的特征向量得到因此组合系统的数学描述工程中较为复杂的系统，通常是由若干个子系统按某种方式 连接而成的。这样的系统称为组合系统。组合系统形式很多，在大多数情况下，它们由并联、串联和 反馈等3种连接方式构成的。下面以两个子系统 和 构成的组合系统进行介绍。组合系统的数学描述的系统方程为传递函数矩阵为的系统方程为传递函数矩阵为组合系统的数学描述1 并联连接系统方程传递函数矩阵组合系统的数学描述2 串联连接组合系统的数学描述串连组合后系统方程传递函数矩阵所以组合系统的数学描述3 反馈连接组合后系统方程为传递函数矩阵为或
