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1、X第第 1 1 页页第第4 4章章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析1.拉普拉斯变换的定义2.拉普拉斯变换的性质3.系统复频域零极点分析4.系统复频域稳定性分析X第第 2 2 页页第第1 1节节 拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换定义1.引言2.从傅立叶变换到拉普拉斯变换3.单边拉普拉斯变换定义(收敛域)4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系X第第 3 3 页页1.引言?问题；为什么还需要引入拉普拉斯变换？与傅立叶变换类似，拉普拉斯变换是研究线性系 统的一种有效而重要的工具。把时域中的常系数 线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数 方程。傅立叶变换与拉普拉斯变换对LTI系统的分析都 可
2、称为变换域分析（与时域分析对应）X第第 4 4 页页引入Laplace变换的必要性Fourier变换的局限性：1）不是所有信号（如正指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 x(t) 必须绝对可积）而存在傅立叶变换。但是在满足收敛条件下存在拉普拉斯拉斯变换；2）可以简化某些变换形式或者运算过程。（如系统频域分析中的奇异信号）X第第 5 5 页页引入Laplace变换的必要性Laplace变换的优点：1) 变换简单且容易计算；2 ) 可应用复频率的概念具有更普遍的意义；3) 可处理的信号范围更广；4 ) 在微分方程的求解中变微分运算为代数运算；5 ) 自动引入初始条件，直接求出全解。X第第 6 6 页
3、页引入Laplace变换的必要性X第第 7 7 页页1.引言2.从傅立叶变换到拉普拉斯变换3.单边拉普拉斯变换定义(收敛域)4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系X第第 8 8 页页2从傅立叶变换到拉普拉斯变换问题的提出：不是所有信号（如指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 必须绝对可积）而存在傅立叶变换.问题的提出：不是所有信号（如指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 必须绝对可积）而存在傅立叶变换.问题的提出 不是所有信号）都满足狄里赫利条件（信号 可选的方案 则可以对拉普拉斯拉斯变换做如下的理解: X第第 9 9 页页问题的提出：不是所有信号（如指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 问题的提出：不是
4、所有信号（如指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 不是所有信号则可以对拉普拉斯变换做如下的理解: 具体推导如下：X第第 1010 页页问题的提出：不是所有信号（如指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 问题的提出：不是所有信号（如指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 不是所有信号拉普拉斯变换具体推导-1设有信号f(t)e-t(为实数)，并且能选择适当的使f(t)e-t绝对可积，则该信号的傅里叶变换存在。 若用F(+j)表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义， 则有 根据傅里叶逆变换的定义，则 X第第 1111 页页问题的提出：不是所有信号（如指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 问题的提出：不是所
5、有信号（如指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 不是所有信号拉普拉斯变换具体推导-2上式两边乘以et，得 双边带Laplace变换X第第 1212 页页双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂， 并且信号与其双边拉普拉斯变换不一一对应，这就使其应用受到限制。实际中的信号都是有起始时刻的(tt0时f(t)=0)，若起始时刻t0=0, 则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变换的积分下限为“0”，该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收敛域简单，计算方便，线性连续系统的复频域分析主要使用单边拉普拉斯变换。 X第第 1313 页页X第第 1414 页页1.引言2.从傅立叶变换到拉普拉斯变换3.单边
6、拉普拉斯变换定义(收敛域)4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系 5. 复频域系统函数H(S)X第第 1515 页页3.单边拉普拉斯变换定义其中积分下标取0(0-) ，是为了将冲激函数(t) 及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。重要性质-唯一性 X第第 1616 页页重要性质-唯一性 正是这个性质，才可能将时域中的问题变换为复频 域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果 有可能再返回到时域中去。？问题；收敛域如何确定？X第第 1717 页页Laplace变换的收敛域与双边拉普拉斯变换存在的条件类似，若f(t)满足 则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)存在。使F(s)存在的S复平面上s的取值区域称为
7、F(s)的收敛域。举例：如何确定收敛域X第第 1818 页页举例：如何确定收敛域X第第 1919 页页Laplace变换的收敛域单边拉普拉斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同，即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于j轴的一条直线的右边区域，可表示为 X第第 2020 页页常用信号的单边拉普拉斯变换-1X第第 2121 页页常用信号的单边拉普拉斯变换-2X第第 2222 页页常用信号的单边拉普拉斯变换-3X第第 2323 页页单边拉普拉斯变换对-1X第第 2424 页页单边拉普拉斯变换对-2X第第 2525 页页单边拉普拉斯变换对-3X第第 2626 页页1.引言2.从傅立叶变换到拉
8、普拉斯变换3.单边拉普拉斯变换定义(收敛域)4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系X第第 2727 页页4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系目的：进一步加深对变换域分析的理解?问题：如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换 ？X第第 2828 页页?问题：如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换 ？X第第 2929 页页?问题：如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换 ？X第第 3030 页页?问题：如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换 ？X第第 3131 页页?问题：如何从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换 ？X第第 3232 页页从已知单边拉普拉斯变换求傅立叶变换重点；关注在这种条件下： Laplace变换可以看成是Fourier变换从频域向复频域的扩展。X第第 3333 页页更一般地：
