矩阵分解4矩阵的奇异值分解

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1、4 矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解在矩阵理论中的重要性是不言而喻的，它在最优化问题、特征值问题、最小二乘方问题、广义逆矩阵问题和统计学等方面都有十分重要的应用。 一.预备知识为了论述和便于理解奇异值分解，本节回顾线性代数有关知识。 定义2.14 若实方阵Q满足 ,则称Q是正交矩阵.定义2.15 若存在正交矩阵P,使得 ,则称A正交相似于B.定义2.16 共轭转置矩阵记为 ,即 .定义2.17 若 ,则称A为Hermit矩阵.定义2.18 设 ,若 ,则称A为正规矩阵.定义2.19 设 ,若 ,则称A为酉矩阵.定义2.20 设 ,若存在酉矩阵P,使得,则A称酉相似于B.性质1 若A是n阶实对称

2、矩阵， 是的特征值，则恒存在正交阵Q，使得而且Q的n个列向量是的一个完备的标准正交特征向量系。性质2 若 ，是非奇异矩阵，则存在正交阵P和Q，使得其中.性质3 (1) 设 ,则 是Hermit矩阵,且其特征值均是非负实数;(2) ;(3) 设 , 则 的充要条件为 .把性质2中的等式改写为称上式是A的正交对角分解.性质4 (1) 设 ,则A酉相似于对角阵的充分必要条件是A为正规矩阵;(2) 设 ,且A的特征值都是实数,则正交相似于对角矩阵的充要条件A是为正规矩阵. 二.矩阵的奇异值分解现在开始论述矩阵的奇异值分解。定义2.21 设 ， 的特征值为则称 是A的奇异值；规定零矩阵0的奇异值都是0.

3、定理2.9 设 , 则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V,使得 （2.41）其中矩阵 ,而数是矩阵A的所有非零奇异值.称式（2.41）是矩阵A的奇异值分解.证 根据性质3, 是Hermit矩阵,且其特征值均是非负实数,且 记为显然, 是 正规矩阵.根据性质4,存在n阶酉矩阵V,使得或其中:设V有分块形式则有即由 ,得或, ,其中. 由 ,得 或 令 ，则根据线性代数理论知，可将两两正交的单位列向量扩充为 的标准正交基，记矩阵 ，则是m阶酉矩阵，且于是所以(证毕)由上述定理的证明过程可知,A的奇异值是由A唯一确定的,但是,由于酉矩阵U和V是不唯一的,故A的奇异值分解(2.41)式也是不惟一的.例10

4、 求矩阵 的奇异值分解.解: 可以求得矩阵的特征值是 ,对应的特征向量可取为，于是可得，奇异值为 ， ，且使得成立的正交矩阵为， 其中经计算,将 扩张成 的正交标准基则A的奇异值分解是例11 设矩阵 ，求它的奇异值分解.解 经过计算，矩阵的特征值为 ,对应的特征向量分别是，从而正交矩阵以及 ，计算，构造 .的奇异值分解是.三. 正交相抵矩阵定义2.22 设 ,若存在m阶正交矩阵U和n阶正交矩 阵V,使得 ,则称A与B正交相抵.在上述定义中,若A和B都是n阶方阵,U=V,则即A与B正交相似.可见正交相似概念是正交相抵概念的特殊情况.定理2.10 正交相抵的两个矩阵具有相同的奇异值.证 若 ,则上式表明 与 相似,而相似矩阵有相同的特征值,所以A与B有相同的奇异值.证毕直接验证可知, 正交相抵具有自反性、对称性和传递性，因此，所有正交相抵的矩阵构成了正交相抵等价类。在正交相抵等价类中的任一矩阵A，奇异值分解 中的矩阵都是相同的，D称为正交相抵等价类中的标准形矩阵。