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第十章 曲线积分与曲面积分10.1 对弧长的曲线积分一 对弧长的曲线积分的概念与性质二 对弧长的曲线积分的计算方法一 对弧长的曲线积分的概念与性质1 定义设是定义在平面光滑曲线上的有界函数，则在上对弧长的曲线积分定义为其中弧长元素说明： 当是封闭曲线时，记为 若在上连续，则存在； 当为曲线的线密度时，表示曲线的质量。 （物理意义）2 性质它的性质与定积分、重积分的性质完全类似。如：（1）（2）设是分段光滑曲线， 且则（3）（ 的弧长 ）（4）（5）对称原则设关于轴对称，则其中是在轴上方的部分。二 对弧长的曲线积分的计算方法弧长元素：（1）设曲线的方程为则（2）设曲线的方程为则（3）设曲线的方程为则（4）设曲线的方程为则例1 求其中是点组成的折线解例2 求其中是圆周在第一象限中的部分。解 方法一方法二例3 求其中是圆周解 方法一方法二令方法三推广：设是定义在空间光滑曲线上的有界函数，则若曲线的参数方程为在上对弧长的曲线积分为则例4 求其中为螺旋线解例5 求其中解的参数方程为：因为所以
