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1、三角形一.三角形中的线或边三角形的三个基本要素：A AB BC Cbac如上图顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边 AC表示为b，顶点C所对的边AB表示c若若ABCABC的三边为的三边为a a，b b，c c，则化简，则化简 |a+b-c|a+b-c| |b-a-c|b-a-c| 的的 结果是（结果是（ ）. .(A)(A) 2a-2b (B) 2a-2b (B) 2a+2b+2c (C2a+2b+2c (C) 2b-2c (D) 2a-2c) 2b-2c (D) 2a-2c三角形三边满足的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两 边
2、之和大于第三边边之和大于第三边1.如果三角形的两边长分别是2和4，且第 三边是奇数，那么第三边长为 。若 第三边为偶数，那么三角形的周长 。 有同学说：有同学说：“ “一个角的平分线就是一个角的平分线就是 三角形的角平分线三角形的角平分线. ”. ”这种说法对吗？为这种说法对吗？为什么？什么？说说：三角形的高、中线与角平分 线有什么共同的特征？ （1）都是线段； （2 2）所有的高相交于一点叫：垂心）所有的高相交于一点叫：垂心所有的中线相交于一点叫：重心所有的中线相交于一点叫：重心所有的角平分线相交于一点叫：内心所有的角平分线相交于一点叫：内心如图,在ABC中,AE,AD分别是BC边 上中线和
3、高,说明ABE的面积与AEC的 面积有和关系？拓展ABDEC同高等底的两个三 同高等底的两个三 角形的面积相等。角形的面积相等。三角形的中线把三角形分成两个面 三角形的中线把三角形分成两个面 积相等的三角形。积相等的三角形。你有什么发现？相等相等, ,怎么写过程怎么写过程三角形中-【操作】型 如图：将一副三角板叠在一起，使直角 的顶点重合于点O，求AOCDOB的 度数是多少？等腰三角形等腰三角形有两条边相等的三 角形叫等腰三角形 。A顶 角BC底角底角底边腰腰AS DF SAS DF S1.等腰三角形是轴对称图形 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上 的中线、底边上的高重合（也称“三线 合一”）
4、，它们所在的直线都是等腰三 角形的对称轴。 3.等腰三角形的两个底角相等（简称 ：等边对等角）。等腰三角形的性质等腰三角形的性质4. 4. 根据等腰三角形性质定理的推论根据等腰三角形性质定理的推论, ,在在 ABCABC中，中， AB=ACAB=AC时，时， (1) AB=AC ADBC，_ = _，_= _. ( 三线合一 ) (2) AB=AC AD是中线，_ ，_ =_.( ) (3) AB=AC AD是角平分线，_ _ ，_ =_. ( )ABCDBADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD没有垂直这个条件，行不行？没有垂直这个条件，行不行？A.A.有两边相等的三角形是等腰
5、三角形有两边相等的三角形是等腰三角形 B.B.有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形 （简称：等角对等边）（简称：等角对等边）等腰三角形的判定方法（等腰三角形的判定方法（2 2个）：个）：等边三角形的判定方法：A.A.有一个角是有一个角是60 60 的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形 B.B.有两个角是有两个角是6060的三角形是等边三角形。的三角形是等边三角形。 C.C.三边相等的三角形是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形有没有拿三线合一来证明等腰三角形？有没有拿三线合一来证明等腰三角形？20102010年区期末试题：年区期末试题： 已知：已知：D
6、 D是是ABCABC的的BCBC边的中点，边的中点，DEDEAB,AB, DFDFAC,AC,垂足分别是垂足分别是E E，F F，且，且DE=DF.DE=DF. 求证：求证：ABCABC是等腰三角形。是等腰三角形。学生最容易犯的错误：错误： 用三线合一去证明它 是等腰三角形，是不 对的等腰三角形中的多解问题：1.1.对于等腰三角形的周长：要善于利用对于等腰三角形的周长：要善于利用 三边的关系？三边的关系？ 例题：一个等腰三角形的两边是例题：一个等腰三角形的两边是2 2，3 3 求它的周长。若是求它的周长。若是1,21,2呢？周长又是多少呢？周长又是多少 ？ 2.2.对于等腰三角形的作高问题：要
7、考虑对于等腰三角形的作高问题：要考虑 等腰三角形的类型等腰三角形的类型重点专题1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是30 ，则等腰三角形的顶角的度数为 。2.在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在 的直线相交所得的锐角为40，则B= 。-多解问题！ 主要考虑：三角形有锐角和钝角三角形之分勾股定理（直角三角形）勾股定理（直角三角形）勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜 边为c，那么直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方。（它的逆定理你是怎样表达的？）（它的逆定理你是怎样表达的？）abc勾股弦a2=c2b2 b2=c2 - a2 C=a2+b2如图，所有的四边形都是正方形，
8、所有的三角形都是直 角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形 A，B的面积之和为_cm2 ，正方形C,D,E,F 的面积之和为_cm2 你还可以写出什么面积 之和等于49吗？7cmFABCDE在一个三角形中，其中两条边在一个三角形中，其中两条边( (两条最小两条最小 的边）的平方和等于第三边（最大的边）的边）的平方和等于第三边（最大的边） 的平方，则这个三角形是直角三角形。的平方，则这个三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理利用这个定理我们必须要知道两个方面的利用这个定理我们必须要知道两个方面的 注意事项注意事项: : 1.1.证明时不能直接写成，形如：证明时不能直接写成，形如：a a
9、2 2+b+b2 2=c=c2 2; ;要有计算的过程。要有计算的过程。 2.2.熟练知道哪些是勾股数：熟练知道哪些是勾股数： 如：如：3 3，4 4，5 ; 55 ; 5，1212，13; 113; 1，1 1， 2 2（或是它们的倍数）（或是它们的倍数）例4 有一块四边形地D，B ， m， m， CDm， DAm， 求该四 边形地D的面积 。 例题学习若直角三角形的两边长分别为3、 4、 x ，试求出x的所有可能值。 易错题如图，在RtABC中，直角边 AC=5，BC=12，求ABC斜边上的 高CD的长。 典型例题：学会根据面积相等求解问题？ 公式：两直角边之积=斜边与斜边上的高之积请你利
10、用自己准备的四个全等的直角三角 形拼出以斜边为边长的正方形. 有不同的拼法吗吗？拼图展示图 1图 2aaaabbbbcccc a+b =c验证验证方法一图 1你还能用图2进行验证吗？ 方法小结：我们利用拼图的方法，将形的 问题与数的问题结合起来，再进行整式运算， 从理论上验证了勾股定理. 验证验证方法二cab a a+b =c图 2b美国总统证法：bcabc aABCD最短距离问题（化曲面为平面，利最短距离问题（化曲面为平面，利 用用“ “两点之间，线段最短。两点之间，线段最短。” ”一个无盖的长方体形 的盒子的长、宽、高分别 为8cm、 8cm 、 12cm, 一只蚂蚁想从盒底的A点 爬到盒
11、顶的、B点，你能 帮蚂蚁设计一条最短的路 线吗？蚂蚁要爬行的最短 行程是多少？如果有盖或靠墙又如何解决？三角形全等问题一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变 即：平移、翻折、旋转前后的图形全等其中：“”表示形状相似，“ = ”表示大小相等把两个全等的三角形重合在一起， 重合的点叫做对应顶点， 重合的边叫重合的边叫对应边对应边，重合的角叫重合的角叫对应角对应角对应规律：最大的角相对应，最长的边相对应， 反之亦然全等三角形的性质： 全等三角形对应边相等 全等三角形对应角相等2.如图：OADOBC,且O=650， C=200,求OAD的度数？ （你还能得出哪些结论）1、SS
12、S：三边对应相等2、SAS 两边及夹角对应相等3、ASA两角夹边对应相等4、AAS 两角及一角的对边对应相等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等(可简写成斜边、直角边或) 这个判定定理“很多学生误认为是两条 直角边。记住：是斜边和一条直角边直角三角形全等的特殊证法：HL如图，已知ABCD，ACBD，AC与 BD交于点O求证：AD， （你还能得出什么结论 ？若图形是右边 的图形又该怎样证 明AD）2、请在下列空格中填上适当的条 件，使ABCDEF。在ABC和DEF中ABC DEF（ ）ABCDEFSSSAB=DE BC=EF AC=DFASAA=D AB=DE B=DEFAC=DF A
13、CB=FAASB=DEF BC=EFACB=F BC=EF例 如图，ABC， DD ， = ，求证B=ADABC 如图，如图，A A， ， ，= = ，求证，求证AE=DFAE=DFF 因铺设电线的需要，要在池塘两侧 因铺设电线的需要，要在池塘两侧A A、B B处各处各埋设埋设 一根电线杆（如图），因无法直接量出一根电线杆（如图），因无法直接量出A A、B B两点的距两点的距 离，现有一足够长的米尺。请你设计一种方案，粗略离，现有一足够长的米尺。请你设计一种方案，粗略 测出测出A A、B B两杆之间的距离。两杆之间的距离。利用全等解决实际问题利用全等解决实际问题小强的设计方案：先在池 塘旁取一
14、个能直接到达A和B处 的点C，连结AC并延长至D点， 使AC=DC，连结BC并延长至E 点，使BC=EC，连结CD，用 米尺测出DE的长，这个长度就 等于A，B两点的距离。请你说 明理由。DODCBA2.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳， 问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满足 下列的哪个条件？（ ）A、AO=CO B、BO=DOC、AC=BD D、AO=CO且BO=DO反证法的三步骤 (1) 从命题的结论的否定面出发； (2) 推出一个结论（而这个结论与已知条件 或公理、定理矛盾；）(3)肯定原命题的结论是正确的。简记三步曲：否定结论推出矛盾肯 定结论，其中推出矛盾是关键。 1.用反证法证明命题：“三角形中至多有一个 内角小于或等于60”，第一步应先假设：。2.在一个三角形中,至少有一个内角小于或 等于60 ，第一步应先假设：。三角形中三个角都小于60三角形中三个角都大于60感受反证法 例、求证： 在一个三角形中，如果两 条边不等，那么它们所对的角也不等这与已知条件ABAC相矛盾。求证：B C已知：在ABC中，ABAC。证明：假设B = C AB=AC所以B C如图直线c与直线a,b都相交，12. 求证：a与b不平行 12a cb证明：假设：ab 1=2 这与12矛盾。 a与b 不平行。例3、用反证法证明：等腰三角形的底角
