第四章 空间轴对称问题

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1、 若弹性体的几何形状对称于某一轴线，我们称这样的结构为轴对称结构。空间轴对 称结构根据其所受的外载荷和约束对称其对称轴与否，可分为两种情况：1) 轴对称结构受有轴对称载荷和约束，称这种结构的弹性力学问题为轴对 称问题；2) 轴对称结构受有非对称载荷和约束，称这种结构的弹性力学问题为 一般空间弹性力学问题的特殊情况。研究上述两种问题，采用圆柱坐标系 比较方便。由于空间轴对 称问题的几何形状，约束情况及轴对称弹性体 所受的外载荷都对称于z轴，如图，故这种弹性体内各点的各项应 力分量、应变分量和位移分量也都对称于z轴，而与环向坐标 无关，所谓各项应力分量、应变分量和位移分量都与 坐标无关，其 含义是

2、，在任何一个过z轴的子午面上的位移、应变和应力的分布规律都相同。由于各分量都对称于z轴，与 无关，因此弹性体内各点只可能存在着径向位移u和轴向位移w（此时，u, w只是r, z的函数），而环向位移v = 0。则必有剪应变 ，否则这种轴对称问题的弹性体将不能保持轴对称状态而发生歪扭，这在实际中是不可能出现的。根据轴对称问题弹 性体的上述特点，即v = 0，。其平衡微分方程为：(4-1)几何方程为物理方程式中轴对称问题弹 性体的弹性矩阵；轴对称问题弹 性体的应变列阵。(4-2)(4-3)根据轴对称问题的特点，我们只须考查轴对 称结构的任意子午面上各单元的各应力分量和各结点的位移分量。在轴对称结构的

3、任意子午面上（即rz平面）任取一个三角形单元i,j,m，基本未知量仍然取结点位移，单元的结点位移可用列阵表示为 (4-4)图5-1 轴对称结构仿照平面问题，取线性位移模式类似于平面三角形单元的推导，可得(b)(a)其中形函数(c)而(4-5)(4-6)(b)式也可写成矩阵形式(d) 将(b)式代入几何方程(4-2)式，得到单元体内的应变，即(e)其中(e)式仍然还可以简化成其中(f)(4-7)由此可见，单元中的应变分量 都是常量，但是环向正应变 不是常量，它与 中的r有关。单元的应力分量仍可表示为(h)其中而(i)(4-8)显然，只有应力分量 在单元中为常量外，其余三个正应力在单元中都不是常量

4、。在实用上，为了简化计算和消除对称轴上由 于r = 0所引起的麻烦，常把各个单元中的r及z近似地当作常量，并且分别等于各单元形心的坐标，即于是(f)式成为这样就可把各单元近似地当作常应变单 元。将(j)、(k)式代入(4-7)和(4-8)式求得的是单元形心处应变 和应力的近似值。(j)现在，再运用虚功原理求导轴对 称结构上任意单元的刚度矩阵。由虚功原理知：三角形断面的环形单元体积所吸收的虚变形能应等于单元结点力所做的虚功：假设单元的虚位移为则单元的虚应变为(a)(b)将上式代入(a)式，并注意到，得由于虚位移是任意的，所以有(d)上式右边与单元结点位移列阵 相乘的矩阵便是单元刚度矩阵它也可以写

5、成下列分块形式其中的子矩阵为(4-11)(4-9)(4-10)由于在轴对称问题的矩阵 中出现坐标r、z，所以(4-11)式的积分运算比平面问题要复杂得多。现在仍取单元形心的坐标替代 矩阵中的坐标r、z作为一次近似，得到一个近似的单元刚度矩阵。此时，(4-11)式成为(4-12)对于整体刚度矩阵，如果弹性体被划分为 个单元和 n 个结点，于是就可得到 个型如(d)式的方程组。与平面问题的情况完全相类似的处理，把各单元的 、 、 等都加以扩大到整个结构的自由度的维数，然后叠加得到(f)引进记号：载荷列阵 (4-13)整体刚度矩阵于是(f)式便可以写成与平面问题相同的标准形式这就是求解结点位移的平衡

6、方程组。(4-14)(g)整体刚度矩阵也可以写成分块形式 其中子矩阵为和平面问题一样，整体刚度矩阵 是对称的带状稀疏阵，在消除刚体位移后，它是正定的。(g)式右边的载荷列阵展开的形式为其中(b)(a)与平面问题一样，等效结点力也是由作用在环形单元上的集中力、表面力和体积力分别移置到结点上而得到的。移置的原则也是根据这些力和等效结点力在任意虚位移上所作的虚功相等，即式中 为集中载荷 作用点的径向坐标。将上节(b)式代入上式并考虑到 ，上式可以化成式中右边第一项是环形单元上的集中力 移置到结点的等效结点力，第二项是环形单元上表面力 的等效结点力，第三项是环形单元体积力 的等效结点力。(c)采用平面

7、问题中相同的符号：集中力的等效结点力表面力的等效结点力体积力的等效结点力(4-19)(4-17)(4-18)于是(c)式可以改写成再将上式代入(a)式，等效载荷列阵可写成将(4-18)、(4-19)式和(2-39)、(2-40)式比较可见，在轴对称情况下积分号后的被积函数比平面问题的多一个变量r，所以虽然也是采用线性位移模式，但是不能象平面问题那样利用刚体的静力等效原则求得结点等效力。当体积力或表面力可表示为坐标r和z的多项式时，不难利用(2-25)或(2-26)式精确积分得到等效结点力。(d)(e)1. 体积力(1) 自重。在此情况下 ；其中 为密度。于是单元的自重移置到结点i,j,m上的等

8、效结点力为由类似等参元的坐标变换 式，将r写成(f)(f)这样就得到代入(f)式即得如果单元离开对称轴较远 ，可以认为将的自重移置到每个结点上。(4-20)(2) 离心力。在此情况下 ，其中 为角速度。于是单元的离心力移置到结点i,j,m上的等效结点力注意到(f)式，得代入(g)式即得(4-21)(g)2. 表面力设rz平面上单元ijm的ij边上受有线性分布的径向表面力。在此情况下有 ，于是结点i的等效结点力为(h)注意到在ij边上 ，于是积分代入(h)式得到(4-22)经过类 似推导可得移置到结点j和m上的等效结点力(4-23)(4-24)两种特殊情况(1) 只有当单元离开对称轴较远时 ，才

9、可以认为 与 大致相等，此时可由(4-25)式得出简单的结果；即将面力的 移置到结点i，移置到结点j。(4-25)(2) 显然，只有当单元离开对称轴较远时 ，才可以认为 、 大致相等，则由上式得出简单的结果；即将面力的 移置到结点i，移置到结点j。需要注意，在轴对称问题中的结点力实际上是整个结圆上的力，这是与平面问题不同的。(4-26)3考虑温度改变的影响，由于应力应变关系包含温度应变，于是公式(e)还应加上热载荷单元e中结点i上的温度改变引起的结点力为式中 为温度改变引起的应变，将(4-7)、(4-3)式中的 矩阵和上式代入(6-27)式得到(4-28)(4-27)上式 中的两个积分通常可用

10、数值积分法求积，或简单地取近似表达式 将以上两式代入(4-28)式，并注意到4-2中的(i)式，使得温度改变引起的等效结点力的近似表达式(4-29)在4-3中我们导得单元刚度矩阵 ，它可以划分为3个22的子矩阵，即由于子矩阵 、 与坐标r、z有关，上式的积分不可能象平面问题那样简单地进行。为了避免复杂的积分运算，在4-3中用单元形心的坐标值 代替其中的坐标r和z，导得近似刚度矩阵(4-12)式。现在我们来推导精确的刚度矩阵。为此，把子矩阵分成两部分(a)其中 是象4-3中那样，用单元形心坐标 代入 后得到的；而 是它的变化部分。由(4-7)式可知(b)把(a)式代入(4-11)式，有注意到矩阵

11、 、 的元素都是常量，它们可以提到积分号的外面，而且(c)故有于是(c)式可以化成其中第一项即(4-12)式给出的近似刚度矩阵，第二项是它的修正部分(4-30)(4-31)上式使用了缩写符号(4-32)按照(4-3)式计算修正项 必须先求出In，也就是需要求出上 述三个积分，它的积分区域在三角形ijm上（左图）。当具体积分时 ，可以在三个梯形i1imm1、m1mjj1和i1ijj1上进行，由前面二个梯形面积分的和中减去第三个梯形面积分。经过运算并加以整理后，得到其中在(4-33)式中的和号 表示大括号中各项对i,j,m轮换后再相加。(4-33)(4-34)利用(4-33)式进行计算时，有两种特

12、殊情况会出现奇异性。一种情况是当单元的某个结点i位于对称轴上（即ri=0），于是(4-33)式中包含对数的项变成0。这项的极限可由罗彼塔(LHopital)法则来确定，事实上 这个极限总是零。因此，如果单元的某个结点的r为零时，只要将 其对应的对数项除去即可。第二种情况是当两个结点的径向坐标相等时，例如rj=rm即ci=0 ；此时，相应的Amj、Bmj都成为无限大，利用(4-33)式计算又会引起 困难。然而，在此情况下，梯形j1jmm1的面积等于零，因此，对于 jm无需进行积分（上页右图），我们只需令系数Amj、Bmj等于零。结合以上两种情况，可以将(4-34)式改写成如下的形式以消除计 算中

13、的奇异性，即(4-35)对于有两个结点在对称轴上的单元，例如结点i和j，则有ri=rj=0，此时除了子矩阵 外，其它子矩阵的积分均发散。但是，由于此时ui=uj=0，正好可将刚度矩阵中的第2i-1行和2i-1列以及2j-1行和2j-1列划去。因此，在计算程序中，可以统一应用公式(4-35)使(4-33)式的右端获得一个有限值。这些有限值出现在将要划去的行和列上，因此，并不影响计算的正确性。实际上，一些例子表明，精确刚度矩阵与近似刚度矩阵，对于主对角元，修正影响甚微，修正项在精确刚度矩阵的相应元素中所占的比例均在5%以下；对于非主对角元，一些元素的修正项所占的比例可达33%。尽管如此，对于位移与

14、应力的计算，其影响并不大。如果采取较大的单元进行同样的计算，结论基本是相同的。因此，近似刚度矩阵（单元不很大的情况下）就位移和应力而言，在工程误差(5%)要求的范围内完全可以采用的。但使用近似等效结点力通常对计算结果影响较大。所以使用精确等效结点力，在实际计算中是有意义的。实际上，原来三角形环单元现在将用八结点等参元代替，它的位移公式与平面八结点等参元相同，即坐标变换 式和位移模式分别具有下列形式(4-36)应变的计算公式(4-37)其中记号 和 分别表示Ni对r和z的偏导数(4-39)(4-38)其中 和 就是平面八结点等参元中的(3-29)式，矩阵是雅可比矩阵 的逆矩阵雅可比行列式是(4-41)(4-40)其中(4-42)应力公式形式上与前面轴对称三角形单元相应公式相同，即(4-43)但是(4-44)其中常数(4-45)当r=0时，即对称轴上有 ，因此，可以用 来代替单元刚度矩阵具有以下的形式其中每一个子矩阵是(4-47)以消除(4-44)式中的奇异项。(4-46)而(4-48)式中常数A1、A2、A3按(4