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1、分式方程的增根与无解南门学校 欧成敏一化二解三检验分式方程整式方程a是分式 方程的解X=aa不是分式 方程的解去分母解整式方程检验目标最简公分母不为 最简公分母为a就是分式 方程的增根解分式方程的一般步骤知识回顾:例1 解方程:解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)-4x=3(x-2)解这个方程,得x=2检验:当x=2时,(x+2)(x-2)=0,所以x=不是原分式方程的解所以原分式方程无解【说明】显然,方程中未知数x的取值范围是x2 且x-2而在去分母化为方程后,此时未知数x的 取值范围扩大为全体实数所以当求得的x值恰好使 最简公分母为零时,x的值就是增根本题中方程 的解是x
2、2,恰好使公分母为零,所以x2是原方程 的增根,原方程无解解:方程两边都乘以(x+2),得x-1=3-x+2(x+2)因为此方程无解, 所以原分式方程无解整理得 0x8例2 解方程:【说明】此方程化为整式方程后,本身就无解, 当然原分式方程肯定就无解了由此可见,分式 方程无解不一定就是产生增根判断:1、有增根的分式方程就一定无解。 2、无解的分式方程就一定有增根。 X=-30X=23、分式方程若有增根,增根代入最简公分母 中,其值一定为0。 4、使分式方程的分母等0的未知数的值一定 是分式方程的增根。 ( )( )( )( )深入探究分式方程的增根与无解分式方程的增根:在分式方程化为整式方程
3、的过程中,若整式方程的解使最简公分母为0 ,那么这个根叫做原分式方程的增根。(2)原方程去分母后的整式方程有解, 但这个解却使原方程的分母为0,它是原 方程的增根,从而原方程无解(1)原方程去分母后的整式方程出现 0x=b(b0),此时整式方程无解;分式方程无解则是指不论未知数取何值,都 不能使方程两边的值等它包含两种情形:应用升华2.关于x的方程 有增根,那么增根可能是_则k的值可能为_ X=2X=2或x=-2K=-8或k=-121.如果 有增根,那么增根是_.方法总结:1、化为整式方程。2、确定增根。3、把增根代入整式方程求出字母的值。1、化为整式方程。 2、把增根代入整式方程 求出字母的
4、值。求m的值。有增根,原方程有增根无解,原方程无解解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x2)ax3(x2)整理得(a1)x10 【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程, 然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根,最后 将增根代入转化得到的整式方程中,求出原方程中所 含字母的值有增根; 无解。解:方程两边都乘以(x+2)(x-2), 得2(x2)ax3(x2) 整理得(a1)x10 若原方程无解,则有两种情形: (1)当a10(即a1)时,方程为0x 10,此方程无解,所以原方程无解。 (2)当x2或2时,原方程无解,把x2或 2代入方程中,得a4或6 综上所述,a1或a一或a6
5、时,原分式 方程无解若原分式方程有增根, 则增根为x=2或x=-2 把x2或2代入方程中, 解得,a4或6(1)当a-1 =0即a=1 时(a-1)x=-10无解,原方程 无解。 (2)当a-10时,x2或2时,原方程无解,把x2或2代入方程中,得a4或6 综上所述,a1或a一或a6时,原分式方 程无解课堂练习:1.当m为何值时,方程 有增根. 课堂小结:1、分式方程的增根是在分式方程化为整式 方程的过程中,整式方程的解使最简公分母 为0的未知数的值。2、分式方程无解则包含两种情形:1)原方程去分母后的整式方程无解,2)原方程去分母后的整式方程有解,但解 是增根。关于分式方程的增根与无解问题 的一般步骤:1、去分母,化分式方程为整式方程 。 2、解这个整式方程。 3、根据题意讨论这个解可能出现的 情况,得出有关字母系数的取值。课后作业:2.当m为何值时,解方程有增根.基础题:选做题:若方程的解是正数,求a的取值范围.1、使分式方程 产生增根的m的值为_。 若方程的解是正数,求a的取值范围.想一想若方程的解是正数,求a的取值范围.展示交流关于这道题,有位同学作出如下解答:解:去分母得,2x+a=-x+2.化简,得 3x=2-a.故 x=因为方程的解为正数,所以,得a2. 所以,当a2 时,方程 的解是正数.,得a2.且a-4 所以,当a2且a-4时,方程 的解是正数.