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1、 高等数学是现代各科知识的理论基础，在数 学建模中有广泛的应用，极限、连续和积分 等数学思想是建立数学模型的基本思想，抽 象思维和逻辑思维能力是数学建模必备的能力。 在教学中，融入数学建模思想和方法，让学生 养成数学建模的习惯。暑假组织学生参加全国大学生数学建模竞赛， 培养他们建立数学模型和解决数学模型的能力。高等数学在数学建 模中的应用举例Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .
2、NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。例1 舰 艇的会合Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with
3、 Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.令：则上式可简记成 ：A(0,b )XYB(0,-b)P(x,y)O航母 护卫舰 1 2 即：可化为：记v2/ v1=a通常a1 则汇合点 p必位于此圆上。 （护卫舰的路线方程）（航母的路线方程 ）即可求出P点的坐标和 2 的值。本模型虽简单，但分析 极清晰且易于实际应用 Evaluation only.Evaluation only. Created
4、with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例2 双层玻璃的功效在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模 型，研究一下双层玻璃到底有多 大的功效。 比较两座其他条件完全相同的房屋，它们 的 差异仅仅在窗户不同。 不妨可以提
5、出以下 假设： 1、设室内热量的流失是热传导 引起的，不存在户内外的空气对 流。 2、室内温 度T1与户外温 度T2均 为常数。 3、玻璃是均匀的，热传导系数 为常数。Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 A
6、spose Pty Ltd.设玻璃的热传导系数 为k1，空气的 热传导系数 为k2，单位时间通过单 位面积由温度高的一侧流向温度低 的一侧的热量为 ddl室 外T2室 内T1TaTb 由热传导公式 =kT/d 解得：Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty L
7、td.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.此函数的图形为dd室 外T2室 内T1类似有 一般故记h=l/d并令f(h)= 01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91hf(h)考虑到美观和使用上 的方便，h不必取得过大，例如，可 取h=3，即l=3d，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗 时的 3% 。 Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Asp
8、ose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例3 崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑 表功能的计算器。Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides
9、for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h78.5 米。我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。 Evaluation only.Evaluation only. Created with
10、Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻力 。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落 的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得 ： 令k=K/m，解得 代入初始条件 v(0)=0，得c=g/k，故有
11、再积分一次，得： Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h73.6米。 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间 进一步深入
12、考虑进一步深入考虑不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反 应时间后应 为3.9秒，代入 式，求得h69.9米。 多测几次，取平均值再一步深入考虑再一步深入考虑代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式： 将e-kt用泰勒公式展开并 令k 0+ ，即可 得出前面不考虑空气阻力时的结果。Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client
13、Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回来的时间记 为t2，还得解一个 方程组： 这一方程组是 非线性的，求 解不太容易， 为了估算崖高 竟要去解一个 非线性主程组 似乎不合情理 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次 h，令t2=h/340，校正t，求石 块下落时间 t1t-t2将t1代入式再算一次，得出 崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，则 t20.21
14、秒，故 t13.69秒，求得 h62.3米。 Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例4 录像带还能录多长时间录像机上有一个四位计数器，一盘 180分钟 的录像带在开始计数时为
15、0000，到结束时计 数为1849，实际走时为185分20秒。我们从 0084观察到0147共用时间3分21秒。若录像 机目前的计数为1428，问是否还能录下一个 60分钟的节目？Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Copyright 2004-
16、2011 Aspose Pty Ltd.rRl由得到又 因和 得 积分得到即从而有我们希望建立一个录像带已录像时 间t与计数器计 数n 之间的函数关系。为建立一个正确的模型，首 先必 须搞清哪些量是常量，哪些量是变量。首先，录像 带 的磁带的厚 度是 常量，它被绕在一个半径 为r的园 盘上，见图。磁带转动中的线速 度v显然也是常数， 否则图象声音必然会失真。此外，计数器的读 数n与 转过的圈数有关，从而与转过的角 度成正比。 Evaluation only.Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0
