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1、 3.5 洛朗(Laurent)级数展开已知：当f(z)在圆|z-z0|R2，则双边幂级数就在R2|z-z0|R1环状区域内收敛，环状收敛域称为收敛环。 双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，在环外 发散，在环上敛散性不定。正则部分 主要部分收敛环 R2|z-z0|R1双边幂级数的性质定理1：双边幂级数 在收敛环上的和函数是一解析函 数，并且在任意较小的闭圆环上一致收敛。定理2：设双边幂级数 的收敛环B为R2|z-z0|R1，则f(z) (1) 在B内连续； (2) 在B内解析，且逐项可导； (3) 在B内可逐项积分。定理3：设函数f(z)在环状区域R2|z-z0|R1的内部单值解析，则对于环内
2、任一点z，f(z)必可展开成 ，其中称为洛朗系数，C为环域内按逆时针方向绕内圆 一周的任一闭合曲线(也 可取圆周)几点说明：(1) z=z0(即展开中心)可能不是f(z)的奇点，但在|z-z0|R2上，存在奇点(即内圆以内存在奇点)；(2) 洛朗系数 ，因为成立的条件是f(z)在C内解析；(3) 洛朗展开的唯一性；(4) 如果只有环心z0是f(z)的奇点，则内圆半径可以任意小，同时z可以无限地接近z0点，这时就称为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内的洛 朗展开式。若f(z)在z0不解析(不可微或无意义)， 而在去心邻域0|z-z0|内解析，则称z=z0是f(z)的孤立奇点。若在z0无论多么小的
3、邻域内，总有除 z0外的奇点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环 域R2|z-z0|R1内的洛朗级数也具有。在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项求导、逐项积 分、和函数是解析函数。求洛朗展开式的系数Cn洛朗展开式的系数Cn用公式计算是很麻烦的， 由洛朗级数的唯一性，我们可用别的方法，特别是代数运算、代换、求导和积分等方法展开，这 样往往更便利(即间接展开法) 。同一个函数在不同的收敛圆环域内的洛朗级数一般不同；由洛朗级数的唯一性可知，同一个函数在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同。例1 求函数 在圆环 的洛朗级数。 解注意用到已有的展开 ：作业题的错误集
4、中在后半边的展开，特别是原因应该是没有熟练掌握已有的展开例2 将函数在指定去心领域内展成洛朗级数并指出收敛范围 我们知道 在原点邻域上的展开式为把z全换成1/z,可得到以下结果:用1-z去换上式中的z得到：即则用到的已知的展开：注意我们知道 在原点邻域上的展开式为所以注：以上每项分别是等的展开，继续计算展开相乘得结果应当指出应当指出,根据定理公式直接求一个函数的洛朗级数是很困难的必须计算无穷多个积分才能得到,而不能像泰勒级数通过求导得到,但是根据洛朗级数的唯一性,可以利用已知函数如等的泰勒展开式和幂级数的运算,特别是代数运算,变量代换,求导和积分等方法求一些初等函数在指定圆环内的洛朗级数,直接利用公式只是个别情况!附录：常见函数泰勒展开
