《[考研数学]北京航天航空大学线性代数6-2二次型的规范形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[考研数学]北京航天航空大学线性代数6-2二次型的规范形（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 二次型的规范形1讨论了任意一个二次型经过满秩线性变 换可化为标准形, 且标准形不唯一. 即任意一 个对称矩阵可用合同变换化为对角形矩阵, 并 且对角元不唯一. 而对角形矩阵的秩等于它的 对角线上不为零元素的个数r. 再者合同变换 是保秩变换, 因此原对称矩阵的秩也是r. 这样, 在一个二次型的标准形中系数不为零 的平方项的个数是唯一确定的, 与所进行的满 秩线性变换无关.本节分别在复数域和实数域中进一步讨论标 准形的唯一性问题.一 复数域设f (x1, x2, , xn)是复数域上的二次型, 经过 满秩变换化为标准形其中r是二次型 f 的秩, rn. 作满秩变换二次型化为称为复二次型的
2、规范形. 显然复二次型的规范 形完全由原二次型的秩决定. 定理2.1 任何复系数二次型经过适当的满秩线 性变换可化为规范形, 且规范形是唯一的, 由二 次型的秩决定. 用矩阵表示复数域上的对称 矩阵合同于形式 为的对角 形矩阵, 1的个数 为对称 矩阵的 秩.两个同阶复对称矩阵合同秩相等.二 实数域设f (x1, x2, , xn)是实二次型, 经过线性变换 及顺序调整后可化为其中di0(i=1, 2, , r), 即上式中有p项为正, rp项为负.令实二次型可化为称为实二次型的规范形.定理2.2 任何实二次型经过满秩线性变换总可 化为规范形, 且规范形是唯一的. 证明只需证明规范形唯一, 即
3、p的个数确定.反证法若规范形不唯一.设存在两个实满秩线性变换x=By, x=Cz将实 二次型f (x1, x2, , xn)分别化为两个规范形.其中pq, 不妨设 pq. 由假设得(*)由x=By, x=Cz得 z=C-1By, 令 C-1B=(gij)nn, 得z1, z2, , zn与y1, y2, , yn的关系为作齐次方程组此方程组必有非零解, 令显然有kp+1=kn=0, 而k1, k2, , kp不全为零, 因此方程组的解为代入等式(*)左端得通过变换z=C-1By代入右端得产生矛盾.说明pq不成立.同理qp不成立, 因此p=q.因此唯一性成立.定义 在实二次型标准形或规范形中, 正平方项 的个数p称为正惯性指数, 负平方项的个数 rp称为负惯性指数. 它们的差 p(rp)=2pr称为符号差. 惯性定理定理2.2 实二次型经过是满秩线性变换化为标 准形时, 其秩r, 正惯性指数p及负惯性指数rp 都是唯一的. 矩阵描述实对称矩阵A合同于对角阵D, D的主对角元 素不为零的个数r, 正数个数p, 负数个数rp唯 一.根据惯性定理, 实二次型的正、负惯性指数 与其秩一样, 也是满秩线性变换下的不变量. 因此虽然实二次型的标准形不唯一, 但标准 形中总项数r, 正项个数p都是唯一的.可得 两实对称矩阵合同其秩相等, 正惯性指数相等.
