实二次型及其标准形

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1、6.1 6.1 实二次型及其标准形实二次型及其标准形一、二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵二、合同变换二、合同变换三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形四、用正交变换化二次型为标准形四、用正交变换化二次型为标准形一、二次型及其矩阵称为 n 元二次型.若aij 为实数，则称为实二次型.若aij 为复数，则称为复二次型.则 f (x1, , xn) = X TAX.A: 二次型 f (x1, , xn) 的矩阵.例1 f (x1, x2 , x3) = 2x12 3x22 + 4x32 - 2 x1x2 + 3x2 x3A: f (x1, x2 , x3) 的矩阵若令 则有 f (

2、x1, x2 , x3) = XTBX但 BT B, 故 B 不是f (x1, x2 , x3) 的矩阵二次型 也记为 f (X) = X TAX. (AT = A)二次型 f (X)的秩：A 的秩.在例1 中， f (x1, x2 , x3) 的矩阵R(A) = 3 ,故 f (x1, x2 , x3) 的秩为 3 .解：例2：求对称矩阵 所对应的二次型。解：例3：已知二次型 的秩为2，求参数c。解：可逆线性替换定义8-2：设 是两组变量， 我们将下列关系式称为从变量组 到 的一个线性替换（变换）。(2)系数 矩阵则线性变换（2）可记作：若C可逆，则称(2)为非退化（可逆），（满秩）线性变换

3、。若C正交，则称(2)为正交线性变换。非退化线性替换的性质：（1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换证：（2）连续施行线性替换的结果还是一个线性替换证：（3）连续施行非退化线性替换的结果还是一个非退化线性替换；连续施行正交替换的结果还是正交替换。矩阵的合同经过非退化线性变换可化为则矩阵的合同：所以，通过非退化线性变换， 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.矩阵合同的性质：(1) 反身性：矩阵A与自身合同； (2) 对称性：若A与B合同，则B与A合同； (3) 传递性：若A与B合同，且B与C合同, 则A与C合 同. A与B等价：PAQ = B, P, Q 可逆； A与B相似：P -1AP

4、= B , P 可逆； 请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？三、用配方法化二次型为标准形只含平方项的二次型d1 y12 + d2 y22 + +dr yr2 (di 0) 称为标准形.形如z12 + + zp2 zp+12 - - zr2 的二次型称为规范形.p: 正惯性指数；r - p: 负正惯性指数；|r - 2p|: 符号差.例 用配方法化二次型为标准形f (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2 x1x2 + 6x2 x3 +2 x1x3=(x12+2x1x2+2x1 x3 + x22 + x32 + 2x2 x3 )+ x22 + 2x32 +4

5、x2x3=(x1+x2+ x3 )2+ (x22 + 4x2 x3+ 4x32) - 2x32=(x1+x2+ x3 )2+ (x2+ 2 x3 )2 - 2x32则 f (x1, x2 , x3) = y12 + y22 2y32 （法1） f (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2 x1x2 + 6x2 x3 +2 x1x3=(x12+2x1x2+2x1 x3)+ 2x22 + 3x32 + 6x2 x3=(x1+x2+ x3 )2+ (x22 + 4x2 x3) + 2x32=(x1+x2+ x3 )2+ (x2 + 2 x3)2 - 2x32则 f

6、(x1, x2 , x3) = y12 + y22 2y32 （法2） 即(1): 从x1, x2, x3到 y1, y2 , y3的线性变换. (2): 从y1, y2 , y3到 x1, x2, x3 的线性变换. (1)与(2)所表达的x1, x2, x3与 y1, y2 , y3 的关系是相同的. 利用配方法与归纳法可以证明：定理1 任一实二次型f (X) = X TAX 都可用配方法化 为标准形.例 f (x1, x2 , x3) = 2 x1x2 +2 x1x3 - 6x2 x3令则, f (x1, x2 , x3)=2y12 2y22 4y1y3 + 8y2 y3= 2(y12

7、2y1y3 + y32) - 2 y22 - 2 y32 + 8y2 y3= 2(y1 y3 )2 2( y22 - 4 y2 y3 + 4y32 )+6y32 = 2(y1 y3 )2 2( y2 - 2 y3 )2 + 6y32 = 2z12 2 z22 + 6z32 （法1） 上式最后一步使用的变换是则 f = 2z12 2z22 + 6z32 = t12 + t22 - t32 f (x1, x2 , x3) = 2 x1x2 +2 x1x3 - 6x2 x3令则, f (x1, x2 , x3)=2y12 2y22 4y1y3 + 8y2 y3（法2） = 2(y12 2y1y3 )

8、 - 2 y22 + 8y2 y3= 2(y1 y3)2 - 2(y22 - 4y2 y3 )- 2 y32 = 2(y1 y3)2 - 2(y2 - 2y3)2 + 6y32 = 2z12 2 z22 + 6z32 上式最后一步使用的变换是则, f = 2z12 2z22 + 6z32 = t12 + t22 - t32 特点:二次型中至少有一个平方项系数不为零特点:二次型中平方项系数全为零.(即无平方项)定理2 任何一个实二次型的规范形都是惟一的.证 将实二次型 f (X) = X TAX 经合同变换化为标准 形后，将正项集中在前，负项集中在后：d1 y12 + + dp yp2 - dp

9、 +1yp+12 - - dr yr2 得 f (X) = X TAX 的规范形为z12 + + zp2 zp+12 - - zr2 由于合同变换不改变二次型的秩，所以 r 是惟一确定的 . 进一步还可证明正惯性指数 p 是惟一的，因此，负惯 性指数r p 与符号差 |r 2p| 也是惟一的.四、用正交变换化二次型为标准形定理3 任一 n 元实二次型 f (X) = X TAX 都可用 正交变换 X = CY 化为标准形1 y12 + 2 y22 + + n yn2 其中 1 ，2 ，n是A 的特征值. 证因A 为n 阶实对称矩阵， 所以存在正交矩阵C , 使CTAC = C-1AC = di

10、ag (1 ，2 ，n)令 X = CY , 则f (X) = YT CTACY = 1 y12 + 2 y22 + + n yn2例4 用正交变换化二次型为标准形f (x1, x2 , x3) = x12 - 2x22 - 2x32 - 4 x1x2 + 4x1x3 + 8x2 x3解f (x1, x2 , x3)的矩阵特征值：1= 2（二重特征值），2 = -7，求1= 2 的特征向量：x1 + 2x2 - 2x3 = 0特征向量：1 = (-2, 1, 0)T , 2 = (2, 0, 1)T 将1, 2 正交化：1 = 1 = (-2, 1, 0)T ,求1= -7 的特征向量：3 = (1, 2, 2)T ,将 1, 2 , 3 单位化：X = (x1 , x2 , x3 )T, Y = (y1, y2, y3 )T则 X = CY 为正交变换，且f = 2 y12 + 2 y22 - 7 y32