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1、第 1 章摇 分摇 式J 1 摇 摇 摇 摇摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇第 1 章摇分摇式1. 1摇分摇式知识要点课标要求中考要求分式的概念(1)能判断一个式子是不是分式;(2)能求出分式有意义的条件(重点、难点)(1)分式的概念(了解);(2)判断分式是否有意义(了解)分式的基本性质(1)利用分式的基本性质判断分式的变形是否正确;(2)利用分式的基本性质进行简单的化简求值(重点、难点)分式的基本性质(运用)约分会利用分式的基本性质进行约分(重点)利用分式的基本性质进行约分(运用)知识点 1摇分式的概念一个整式 f 除以一个
2、非零整式 g,所得的商记作f g,把代数式f g叫作分式,其中f 是分式的分子,g 是分式的分母,g屹0.例如:a x,s n,a+bx+y,都是分式. 注意:(1)分式中分母所含的字母是指可以取不同数值的 字母,如果式子中的分母只含有“仔冶,则它不是分式,因为“仔冶 表示圆周率,是常数. 分式可以看成是两个整式的商,分式中的 分数线有括号和除号两个作用. (2)判断一个式子是不是分式,不能将原式变形后来判 断,而必须根据原来的形式进行判断.重点剖析摇 摇 (1)分式的分子中可以含字母,也可以不含字母,但分式 的分母中必须含有字母,而整式的分母中不能含有字母,这就 是整式与分式的根本区别. (
3、2)因为零不能作除数,且分式的分母中含有字母,所以 分式是否有意义就必须讨论分母中所含字母的取值范围,以 避免因分母的值为零而使分式失去意义.知识点 2摇分式有意义、无意义的条件摇 (重点、难点) 1 分式有意义的条件:分式的分母表示除数,由于除数不能为 0,所以分式的分母的值不等于零,即当 g屹0 时,分式f g 才有意义. 2 分式无意义的条件:分母的值等于零,即当 g=0 时,分式f g无意义.重点剖析摇 摇 (1)分式中的分母的值不为0 是指表示分母的整式的值不 为0;如果分母中字母的取值为 0,但表示分母的整式的值不为 0,则分式仍然有意义. (2)如果没有特别的说明,所遇到的分式都
4、是有意义的,即分式中的分母均不等于 0. 例如:分式3cab就隐含了 ab屹0,即 a屹0 且 b屹0 的条件.知识点 3摇分式值的讨论对于分式f g:(1)若f g的值为 0,则 f=0 且 g屹0;(2)若f g的值为正数,则f0,g0或f0,g0;(4)若f g的值为 1,则 f=g 且 g屹0;(5)若f g的值为-1,则 f+g=0 且 g屹0.注意:根据分式的值的情况确定分式中字母的取值(范围)时,一定要排除使分母为零的字母的值.重点剖析摇 摇 如果分式的分子、分母中都含有字母,那么只有当分母的值不为 0 时,这个分式才有意义. 所以在考虑分式的取值时,一般要分类讨论.知识点 4摇
5、分式的基本性质摇 (重点、难点)1 分式的基本性质:(1)分式的分子与分母都乘同一个非零整式,所得分式与原分式相等. 即对于分式f g,有f g=fh gh(h屹0) 摇 摇 摇 摇 摇 摇摇 摇 摇 摇 摇 摇摇 摇 摇 摇 摇 摇摇 摇 摇 摇 摇 摇詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪.分式性质要牢记, 分子分母同乘除; 同不为零数或式, 分式大小值不变.(2)分式的分子与分母都除以它们的 一个公因式,所得分式与原分式相等.即对于分式f g,有f g=f衣h g衣h(h屹0). 注意:(1)分式的基本性质是分式变形 的理论依据,运用分式的基本性质变形时,一定要注意限制条件“h屹0
6、冶. 同时还要注意隐含条件“g屹0冶. (2)当分子或分母是多项式,在运用分式的基本性质时,要注 意添加括号,把分子或分母放到括号内,再乘(或除以)同一个不 为零的整式,避免只乘(或除)分子或分母中的部分项.学法指南分式的系数化整问题利用分式的基本性质,将分子、分母都乘一个适当的不等于 0 的数,使分子、分母中的系数都化成整数. 其步骤可归纳为:第一步:找出分子、分母中各项的系数,确定使系数能化成整数的最小正整数;第二步:分子、分母同时乘这个最小正整数.例如:0. 3a+0. 5b0. 2a-b=(0. 3a+0. 5b)伊10(0. 2a-b)伊10=3a+5b 2a-10b.八年级数学(上
7、)摇 湘教版J 2 摇 摇 摇 摇2 分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,同时改变其中任意两个,分式的值不变.用式子可表示为:f g=-f -g= -f g= -f -g或-f g= -f -g=-f g=f -g.注意:当分子、分母是多项式时,不要把分子(或分母)中第一项的符号误认为是分子或分母的符号.重点剖析摇 摇 应用分式的基本性质变形时,要深刻领会“同冶“同一个冶的含义:一是要同时做“乘法冶或“除法冶运算(不是做“加法冶或“减法冶运算);二是“乘(或除以)冶的对象,必须是同一个不等于 0 的整式,防止出现摇1 a摇1 b=1 aa1 bb这类错误.知识点 5摇分式的约分摇
8、 (重点摇 摇 摇 摇 摇 摇摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇摇 摇 摇 摇 摇 摇摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪詪)分式约分用性质,分子分母同除以,分子分母公因式;分子分母多项式,分解确定公因式,上下同约公因式.1 约分:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式),叫作分式的约分. 约分的理论依据是分式的基本性质.注意:(1)约分不改变分式的值,但可能改变分式中字母的取值范围. 因此在确定分式中字母的取值范围时,不能随意约分.(2)约分是针对分式的分子和分母,而不是其中的某些项,因此约分
9、前一定要确认分子、分母都是乘积的形式再约分.(3)约分一定要彻底,直到将分式化为最简分式或整式为止.学法指南分式约分的方法分式的分子、分母同除以它们的公因式. 如果分式的分子、分母都是单项式,就直接约去分子、分母的公因式,即分子、分母系数的最大公约数与分子、分母的相同字母的最低次幂的乘积;如果分子、分母都是多项式,就先把它们分解因式,再判断公因式并约去. 2 最简分式:分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.注意:最简分式的分子和分母必须都是整式,如果分子或分母仍是一个分式,那么这个式子不是最简分式. 如1 1 x+1 y就不是最简分式.基础类题型 1 摇 判断所给式子是不是分式题型典例髴摇
10、把下列各式填入相应的括号内.1 4,x-2y9,103仔,4x x,-2+3y2,3 |x|.整式集合:摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇;分式集合:摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇.思路导引:1 4,x-2y9虽然是分数的形式,但分母中不含字母,是整式;仔 是一个常数,故103仔是整式;-2+3y2是整式.解:整式集合:1 4,x-2y9,103仔,-2+3y2, ;分式集合:4x x,3 |x|, .方法总结摇 摇 判断一个式子是不是分式的方法:一看是不是f g的形式;二看 f 与 g 是不是整式;三看 g 中是不是含有字母.题型 2 摇 根据实际
11、问题列分式题型典例髵摇 甲种水果每千克价格为 a 元,乙种水果每千克价格为 b 元,取甲种水果 m 千克,乙种水果 n 千克,为使总价不变,混合后,平均每千克价格是摇 摇 摇 摇 摇 元.思路导引:要求出混合后的平均价格,可先求出混合后两种水果的总价钱和总质量,然后用总价钱除以总质量即可.答案:am+bnm+n.方法总结摇 摇 由于习惯于数字的计算,根据实际问题列分式的时候容易受到题目中字母的影响,此时可用数字代替题目中的字母,找到思路后再换回字母,列出分式.题型 3 摇 分式有意义、无意义的条件揖出题角度 1铱分式有意义的条件题型典例髶摇 当下列分式中的字母满足什么条件时,下列分式有意义?(
12、1)1 x-1;摇 (2)x+1 x2-1;摇 (3)2x x2+1;摇 (4)x2+3x+2 (x+4)(x+1).思路导引:当分母不等于零时,分式有意义.解:(1)由 x-1屹0,得 x屹1,所以当 x屹1 时,分式1 x-1有意义.(2)由 x2-1屹0,得 x屹依1,所以当 x屹依1 时,分式x+1 x2-1有意义.(3)因为无论 x 取何值,x2+1屹0 恒成立,所以 x 取任何实数时,分式2x x2+1都有意义.(4)由(x+4)(x+1)屹0,得 x屹-4 且 x屹-1,所以当 x屹-4 且 x屹-1 时,分式x2+3x+2 (x+4)(x+1)有意义.方法总结摇 摇 解分式有意
13、义的题目,应注意:如果分母是一个多项式,应尽可能因式分解,化成几个整式乘积的形式,然后利用“abc屹0,则 a屹0 且 b屹0 且 c屹0冶这一结论列出不等式(组)来解决问题,注意这里用的是“且冶不是“或冶.第 1 章摇 分摇 式J 3 摇 摇 摇 摇揖出题角度 2铱分式无意义的条件题型典例髷摇 使分式2x+12x-1无意义的 x 的值是(摇 摇 ).A. x=-1 2摇 摇 摇 摇 摇 摇 B. x=1 2C. x屹-1 2D. x屹1 2思路导引:要使分式2x+12x-1无意义,则分母 2x-1 = 0,即x=1 2.答案:B.题型 4 摇 分式值的讨论揖出题角度 1铱分式值为 0 的讨论
14、题型典例髸摇 要使分式a2-4a-2的值为零,则 a 的值为摇 摇 摇 .思路导引:由题意可得a2-4=0,a-2屹0,故 a=-2.答案:-2.方法总结摇 摇 求分式值为零时字母的值的一般步骤:(1)由分子为零得出分子中所含字母的值;(2)把所得的字母的值代入分母中检验分式有无意义;(3)舍去使分式无意义的字母的值.揖出题角度 2铱分式值为 1 或-1 的讨论题型典例髺摇当 x = 摇摇摇时,分式4x+3x-5的值为 1;当 x =摇 摇 摇 摇 时,分式4x+3x-5的值为-1.思路导引:由于分式4x+3x-5的值为 1,所以 4x+3 =x-5,解得x=-8 3. 当 x= -8 3时,
15、x-5=-8 3-5=-233屹0,故 x= -8 3. 由于分式4x+3x-5的值为-1,所以这个分式的分子、分母互为相反数,因此(4x+3) +(x-5)= 0,解得 x =2 5. 当 x =2 5时,x-5 =2 5-5=-235屹0,故 x=2 5.答案:-8 3摇2 5.方法总结摇 摇 分式f g=1,则 f 与 g 相等;分式f g=-1,则 f 与 g 互为相反数. 同时也需要检验分式是否有意义.揖出题角度 3铱分式值为正数的讨论题型典例髼摇若 分 式3+a 1+a的 值 为 正 数, 则 a 的 取 值 范 围是(摇 摇 ).A. a-1B. a-1 或 a0,1+a0或3+
16、a-1 或 a0或x-30,x+20,(2)x-30,x+20,x-232012新疆中考3 题5 分 摇思路导引:由分式的分母 3-x 不为 0 得不等式 3-x屹0,即x屹3,故选 A.考法二摇 分式的值为零的条件中考典例髵摇 若分式x-1x+2的值为 0,则(摇 摇 ).A. x=-2摇 摇 摇 摇 摇 B. x=0C. x=1 或 2D. x=12012浙江嘉兴中考5 题4 分 摇思路导引:由分式的值为0,得分子的值等于0,分母的值不等于0,即x-1=0,x+2屹0,解得x=1,故选D.答案:D.揖变式演练 2铱若分式|x|-1x+1的值为 0,则 x 的值为摇 1摇 .2012贵州黔南州中考14 题5 分思路导引:分式的值为零,则分式的分子为零且分母不等于零. 由此可得|x|-1=0,x+1屹0,即x=依1,x屹-1,所以 x=1. 考法三摇 分式的基本性质中考典例髶摇 如果把5x x+y的 x 与 y 都扩大10 倍,那么这个式子的值(摇 摇 ).A. 不变B. 扩大 50 倍C. 扩大 1
