实际问题与一元二次方程的实际运用1

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1、教学目标：1、会列一元二次方程解应用题;2、进一步掌握解应用题的步骤和关键;3、通过一题多解使学生体会列方程的实质， 培养灵活处理问题的能力.重点：列方程解应用题.难点：会用含未知数的代数式表示题目里的中 间量（简称关系式）；会根据所设的不 同意义的未知数，列出相应的方程。一、复习 列方程解应用题的一般步骤？第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数 ，用字母表示题目中的一个未知数；第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等 关系；第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式 （简称关系式）从而列出方程；第四步：解这个方程，求出未知数的值；第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的 实际意义后，写出答案

2、（及单位名称）。课前热身1：二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升， 第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%， 第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？分析：第三次第二次第一次aaX10%a+aX10%=a（1+10%）X10%a(1+10%)+ a(1+10%) X10% = a（1+10%）2a（1+10%）例1：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的 社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百 分率（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a ）设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则2001年 a2002年 a（1+x)2003年 a(

3、1+x) 2增长21%aa+21%aa(1+x) 2 =a+21%a分析：a (1+x) 2 =1.21 a(1+x) 2 =1.211+x =1.1x =0.1解:设设每年增长长率为为x，2001年的总产值为a，则a(1+x) 2 =a+21%a答:平均每年增长的百分率为10% 练习1：某药品经两次降价，零售价降为原来 的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次 降价的百分率.（精确到0.1%） 解：设原价为1个单位， 每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 解这个方程，得 答：每次降价的百分率为29.3%. 练习2:某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍 ，已知两次升价的百分率一样，求每

4、次升价的百分 率（精确到0.1%） 解，设原价为 元，每次升价的百分率为 ， 根据题意，得 解这个方程，得 由于升价的百分率不可能是负数， 所以 不合题意，舍去答：每次升价的百分率为9.5%. 练习练习 4.市第四中学初三年级初一开学时就参 加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶 段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之 后逐年增加，到三年级结束共有183人次在 市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年 增长率.一元二次方程及应用题1、直角三角形问题：（勾股定理）2、体积不变性问题：3、数字问题：4、互赠礼物问题：5、增长率问题：典型练习题1、一个两位数个位数字比十位数字大1，个位数字与十位

5、数字 对调后所得的两位数比原数大9，求：这个两位数2、一件商品原价200元经过两次降价后162元，求：平均降价的 百分比3、某班同学在圣诞节期间互赠礼物182件，求：这个班级的人 数4、某校进行乒乓球单循环比赛，共比赛55场，问：共有多少名 同学参加5、 一名同学进行登山训练，上山速度为2千米/小时，下山速度 为6千米/小时，求：往返一次的平均速度面积问题有关面积问题： 常见的图形有下列几种：例1、用22cm长的铁丝，折成一个面积 为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.整理后，得x2-11x+30=0解这个方程，得x1=5,x2=6(与题设不符，舍去)答：这个矩形的长是6cm，宽是5cm。由

6、x1=5得由x2=6，得解：设这个矩形的长为xcm，则宽为 （cm） .根据题意，得例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上 ，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下 部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道 路的宽应为多少？32m20m则横向的路面面积为 ，32m20mx米分析：此题的相等关系是 矩形面积减去道路面积等 于540米2。 解法一、如图，设道路的宽为x米， 32x 米2纵向的路面面积为 。20x 米2注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2所列的方程是不是？图中的道路面积不是米2 ，而是从其中减去重叠部分，即应是米2所以正确的方程是：化简得，其中的 x=50超出了原矩形的长和宽

7、，应舍去.取x=2时，道路总面积为：=100 (米2)耕地面积= 540（米2）答：所求道路的宽为2米。解法二：我们利用“图形经过移动，它的面积 大小不会改变”的道理，把纵、横两条路 移动一下，使列方程容易些（目的是求 出路面的宽，至于实际施工，仍可按原 图的位置修路）横向路面为 ，32m20mxmxm如图，设路宽为x米， 32x 米2纵向路面面积为 。20x 米2耕地矩形的长（横向）为 ，耕地矩形的宽（纵向）为 。相等关系是：耕地长耕地宽=540米2(20-x) 米（32-x) 米即化简得：再往下的计算、格式书写与解法1相同。练习1：用一根长22厘米的铁丝，能否折 成一个面积是30厘米的矩形

8、？能否折成一 个面积为32厘米的矩形？说明理由。2：在一块长80米，宽60米的运动场外 围修筑了一条宽度相等的跑道，这条 跑道的面积是1500平方米，求这条跑 道的宽度。3. 如图，在长为40米，宽为22米的矩 形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直 的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的 面积为760平方米，道路的宽应为多少 ？40米22米4、如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地 上，修筑同样宽的三条道路，（两条纵向， 一条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地 分成大小相等的六块试验地，要使试验地面 积为570m，问道路的宽为多少？例3、求截去的正方形的边长v用一块长28cm、宽 20cm的长方形

9、纸片，要 在它的四角截去四个相等的小正方形，折成 一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为 180cm，为了有效地利用材料，求截去的 小正方形的边长是多少cm？求截去的正方形的边长v分析v设截去的正方形的边长为xcm之后，关键在于列 出底面（图中阴影部分）长和宽的代数式结合 图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数 式20-2x28-2xcm20cm 求截去的正方形边长v解：设截去的正方形的边长为xcm，根据题意，得(28-2x)(20-2x)=180x2-24x+95=0解这个方程，得：x1=5,x2=19经检验：x219不合题意，舍去所以截去的正方形边长为cm.例4:建造一个池底为正方形,深

10、度为2.5m 的长方体无盖蓄水池,建造池壁的单价是 120元/m2,建造池底的单价是240元/m2,总 造价是8640元,求池底的边长. 分析:池底的造价+池壁的造价=总造价 解:设池底的边长是xm. 根据题意得: 解方程得: 池底的边长不能为负数,取x=4 答:池底的边长是4m.练习、建造成一个长方体形的水池，原计划水 池深3米，水池周围为1400米，经过研讨，修 改原方案，要把长与宽两边都增加原方案中的 宽的2倍，于是新方案的水池容积为270万米3， 求原来方案的水池的长与宽各是多少米？700-xx 3700-x+2xx+2xx原方案新方案v课堂练习:列方程解下列应用题v1、学生会准备举办

11、一次摄影展览，在每张长和宽 分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶嵌上 一圈等宽的彩纸。经试验，彩纸面积为相片面积 的2/3时较美观，求镶上彩纸条的宽。（精确到 0.1厘米）v2、在宽20米，长32米的矩形地面上修筑同样宽 的四条互相垂直的“井”字形道路（如图），余下 的部分做绿地，要使绿地面积为448平方 米，路 宽为多少？ 3220v3、小明把一张边长为10厘米的正方形硬纸 板的四周各剪去一个同样大小的正方形， 再折合成一个无盖的长方体盒子。如果要 求长方体的底面面积为81平方厘米，那么 剪去的正方形边长为多少?4、学校课外生物（小组的试验园地是一块长35米、 宽20米的矩形，为便于管

12、理，现要在中间开辟一横两纵三 条等宽的小路（如图），要使种植面积为600平方米，求 小道的宽。（精确到0.1米）5、在长方形钢片上冲去一个长 方形，制成一个四周宽相等的长 方形框。已知长方形钢片的长为 30cm，宽为20cm,要使制成的长 方形框的面积为400cm2，求这个 长方形框的框边宽。XX30cm20cm解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得 3020(302x)(202x)=400 整理得 x2 25+100=0 得 x1=20, x2=5 当=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10答:这个长方形框的框边宽为5cm列一元二次方程解应题6、放铅笔的V形槽如

13、图，每往上一层可以多 放一支铅笔现有190支铅笔，则要放几层 ?解:要放x层,则每一 层放(1+x) 支铅笔. 得x (1+x) =1902X X 3800解得X119，X2 20(不合题意)答:要放19层.2列一元二次方程解应题补充练习练习 ： （98年北京市崇文区中考题）如图，有一面 积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 （墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边 （门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米求鸡 场的长和宽各多少米？通过这节课的学习:我学会了使我感触最深的是我发现生活中我还感到疑惑的是质点运动问题有关“动点”的运动问题 ”1)关键 以静代动把动的点进行转换,变为线段

14、的长度, 2)方法 时间变路程求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的 运动路程”，也是求线段的长度;由此,学会把动点的问题转化为静点的问题,是解这类问题的关键.3）常找的数量关系面积，勾股定理等；例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发，几秒后 PBQ的面积等于8cm2？解：设x秒后 PBQ的面积等于8cm2根据题意，得整理，得解这个方程，得所以2秒或4秒后 PBQ的 面积等于8cm2例2：等腰直角 ABC中,AB=BC=8cm, 动点P

15、从A点出发,沿AB向B移动,通过点 P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别 交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行 四边形PQCR的面积等于16cm2?例3：ABC中,AB=3, BAC=45,CD AB, 垂足为D,CD=2,P是AB上的一动点(不与A,B重合 ),且AP=x,过点P作直线l与AB垂直.i)设 ABC位于直线l左侧部分的面积为S,写出S 与x之间的函数关系式;ii)当x为何值时,直线l平分 ABC的面积? 例4：客轮沿折线A-B-C从A出发经B再到 C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某 一方向匀速直线航行,将一批物品送达客 轮,两船若同时起航,并同时到达折线A-B- C上的某点E处,已知AB=BC=200海里, ABC=90,客轮速度是货轮速度的2倍. (1)选择:两船相遇之处E点( )A.在线段AB上;B.在线段BC上;C.可以在线段AB上,也可以在线段BC上;ii)求货轮从出发到两船相遇共航行了多 少海里?(结果保留根号)解：设货轮从出发到两船相遇共航行了 x海里，过D作DF CB，交BD于F， 则DE=x，AB+BE=2x，DF=100， EF=300-2x在RtDEF 中，练习1： 在ABC中, AC=50cm, CB=40cm, C=90,点