泛函分析度量空间知识和不动点的应用

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1、泛函分析度量空间知识和不动点的应用第七章度量空间和赋范线性空间知识总结一、度量空间的例子定义 ：设 X 为一个集合，一个映射d：XX R。若对于任何x,y,z属于 X，有（ I ）（正定性）d(x,y） 0，且 d(x,y)=0当且仅当 x = y；（）（对称性）d(x,y)=d(y,x）；（）（三角不等式）d(x,z） d(x,y)+d(y,z）则称 d 为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X， d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d 而言的度量空间。根据定义引入度量空间有离散的度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间、C【a，b】空间、2l空间，这 6 个空间是根据度量空间的

2、定义可证它们是度量空间，在后面几节中给出它们相关的性质。二、度量空间中的极限，抽密集，可分空间：证明极限有二种方法：1、定义法：设nx是（X，d）中点列，如果存在xX，是lim(, )nxd xx=0，则称点列nx是（ X，d）中的收敛点列，x 是点列nx的极限。2、 M 是闭集是充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。 即若nxM， n=1、 ， 2, ，nxx，则xM。给出 n 维欧氏空间、 Ca,b序列空间、可测函数空间中点列收敛的具体意义，由这些系列例子可以看到， 尽管在各个具体空间中各种极限概念不完全一致，所以我们引入度量空间中的稠密子集和可分空间的概念，根据定义可得出n 维欧

3、氏空间nR是可分空间，坐标为有理数的全体是nR的可数稠密集，离散度量空间X 可分的充要条件为X 是可数集。l是不可分空间。三、连续映射证明度量空间的连续映射有四种方法：1、定义法： 设 X=（X，d） ，Y=（Y，d）是两个度量空间，T 是 X 到 Y 中的映射，0xX，如果对于任意给定的正数，存在正数0，使对 X 中一切满足d（x，0x）的 x，有0(,)d TxTx，则称 T 在0x连续。2、对0Tx的每个领域 U，必有0x得某个邻域 V 使 TVU，其中 TV 表示 V 在映射 T 作用下的像。3、定理 1：设 T 是度量空间（ X，d）到度量空间（Y，d）中的映射，那么T 在0xX连续

4、的充要条件为当0nxx（n）时，必有0()nTxTxn。4、定理 2：度量空间X 到 Y 中的映射T 是 X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原象1TM是 X 中的开集。（注意：把定理中的开集改为闭集仍然成立）。四、柯西点列和完备度量空间定义 ：在度量空间的基础上度量空间（X，d）中每个柯西点列都在（X，d）中收敛的空间叫做完备度量空间，根据定义得出n 维欧氏空间nR、l、Ca,b空间都是完备度量空间，而有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，柯西点列完备条件下度量空间收敛点列。证明完备度量空间有二种方法：1、定义法： 度量空间（ X，d）中每个柯西点列都在（X，d）中收敛。2、定理

5、：完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要 条件为 M 是 X 中的闭子空间。五、度量空间的完备化直线上有理数全体Q 作为1R的子空间不是完备的度量空间，但是可以将Q 扩大成完备的度量空间1R，即在 Q 中加入“无理数” ，使之成为新的度量空间1R，并且 Q 在1R中稠密，下面介绍每个不完备的度量空间都可以加以“扩大”，首先介绍等距同构和等距同构映射的定义，但是在泛函分析中把两个等距同构的度量空间不加于区别而视为同一的，如何完备化呢?接下来就介绍度量空间的完备化定理：设X= （X，d）是度量空间，那么一定存在一完备度量空间X=Xd（ ， ），使 X 与X的某个稠密子空间W 等距同构，并且X

6、在等距同构意义下唯一的， 即若Xd（ ， ）也是一完备度量空间，且 X 与X的某个稠密子空间等距同构，则Xd（， ）与Xd（， ）等距同构。等价于定理1” 设 X=（X，d）是度量空间，那么存在唯一的完备空间X=Xd（ ， ），使 X 为X的稠密子空间。六、压缩映射原理以其应用关于存在唯一性的定理的证明，在完备度量空间中巴拿赫的压缩映射原理是一个很有力的证明工具，先定义 ：设 X= （X，d）是度量空间，T 是 X 到 X 中的映射，如果存在一个数，01，使得对所有的x，yX，d（Tx，Ty）d（ x，y） ，则称 T 是压缩映射， 几何意义 ：点 x 和 y 经 T 的映射后，它们像的距离缩

7、短了，那么T 有且只有一个不动点。是根据构造柯西点列和有压缩映射定义可证明。压缩映射原理在分析、微分方程、 积分方程、代数方程解的存在和唯一性定理证明中起了重要作用，这里介绍隐函数存在定理以及常 微 分 方 程 解 的 存 在 性 和 唯 一 性 定 理 ， 定 理2 ： 设 函 数f （ x ， y ） 在 带 状 域axby，中处处连续， 且处处有关于y 的偏导数yfxy（ ， ）。如果还存在常数m 和 M，满足y0mfxyMmM（ ， ），则方程f（ x，y）=0 在区间【 a，b】上必有唯一的连续函数y=x（ ）作为解： f（x，x（ ）=0，x , a b。这个证明是利用压缩映射和微

8、分中值定理。七、赋范线性空间和巴拿赫空间在泛函分析中， 特别重要和有用的一类度量空间是赋范线性空间，所以给出范数的定义，而 X 按照范数赋 x成为赋范线性空间，在赋范线性空间中也给出极限的定义，而且得出空间的度量结构和线性结构之间具有某种协调性。可以证明x是 x 的连续函数。完备的赋范线性空间叫做巴拿赫空间。根据定义可以得出欧氏空间nR、空间l、空间 C【a，b】 、空间pL【a，b】都是巴拿赫空间，而要证明pL【a，b】是巴拿赫空间以前必须了解霍尔德（Holder）不等式和民科夫斯基（Minkowski ）不等式，利用这两个不等式得证pL【a，b】是巴拿赫空间。同理空间pL也是完备的。如果是

9、有限维赋范线性空间的性质，那么有什么性质？ 定理 3： 设 X 是 n 维赋范线性空间， 12,.,ne ee是 X 的一组基，则存在常数M 和M，使得对一切1nkk kxe成立，推论 1： 设在有限维线性空间上定义了两个范数x和1x，那么必存在常数M 和M，使得M x1xMx。 推论 2：任何有限维赋范空间和同维数欧氏空间拓补同构，相同维数的有限维赋范空间彼此拓补同构。第八章有界线性算子和连续线性泛函知识总结一、有界线性算子和连续线性泛函根据线性算子和线性泛函的定义，分别给出相似算子、恒等算子、零算子、微分算子、 乘法算子和对应的线性泛函定义。根据算子和泛函的关系得出1、算子和有限维空间中的

10、方阵相对应。2、泛函与有限维空间中的向量相对应。算子和泛函是映射，所以就有有界和无界的区别，定义 2：设 X 和 Y 是赋范线性空间，T 是 X 的线性子空间( )T到 Y 中的线性算子，如果存在常数c，使对所有()xT，有 Tx cx，则称 T 是( )T到 Y 中的有界线性算子，当( )T=X 时，称 T 为 X 到 Y 中的有界线性算子，简称有界算子， 否则称为无界算子。证明有界算子的方法：定理 1设 T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子，则T 为有界算子的充要条件为 T 是 X 上的连续算子。证明连续泛函的方法：定理 2设 X 是赋范线性空间，f 是 X 上的线性泛函，

11、 那么 f 是 X 上连续泛函的充要条件为f 的零空间()f是 X 中的闭子空间。从定义 2 中可以看出对于( )xT成立的最小c，引入定义3：T 为赋范线性空间X 的子空间( )T到赋范线性空间Y 中的线性算子，称T= 0 ()sup x xTTxx为算子 T 在( )T上范数。若T 是( )T上有界线性算子，则T是一有限，反之，当T 时，由 T 是线性，则有Tx T x，( )xT，根据 引理设 T 是( )T上有界线性算子，那么()()supsup xTxT xxTTxTx =1 1 =二、有界线性算子空间和共轭空间有界线性算子全体所成空间()XY成为赋范线性空间，定理 1：当 Y 是巴

12、拿赫空间是()XY也是巴拿赫空间。或者当0x时，()XY也是巴拿赫空间。如果f 是连续( )Mf 闭集。 （若 f 是有界线性算子，就不成立）。当 X 是完备时，(X)XX为巴拿赫代数。如果X 是赋范线性空间，令X表示 X 上连续线性泛函全体所成的空间，成为 X 的共轭空间。由于定理可知，任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间。引出两个赋范线性空间同构的概念：设X 和 Y 是两个赋范线性空间，T 是 X 到 Y 中的线性算子，并且对所有xX，有 Tx=x，则称 T 是 X 到 Y 中的 保距算子 ，如果 T 又是映射到Y上的，则称T 是同构映射 ，此时称X 与 Y 同构。根据定义可得1l的共轭

13、空间是为l，即1( )ll；(1)plp的共轭空间为ql，其中111pq；2()()LL有界可测函数;11()(2)1pqLLppq; 总结：度量空间包括赋范线性空间， 而赋范线性空间包括有界线性算子和连续线性泛函，一步一步具体化， 一步一步详细， 而有界线性算子和连续线性泛函有些性质在赋范线性空间是不成立的。 而赋范线性空间也有些性质在度量空间是不成立，它们之间相互联系，又相互区别。应用不动点思想解决数列通项公式、方程的解、函数的解析式等问题。并对隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理做出了证明。1 应用不动点定理证明数列极限定理求数列极限的方法有多种, 比较典型的有单调

14、有界原理和迫敛法。若能熟练掌握不动点原理 , 也能方便求出一些数列极限。定理 对于数列nx，若存在常数r：01r，使得一切nN有11nnnnxxr xx，则nx收敛。若递推公式由一元可微函数1nnxfx给出，则可通过f的导数f来考察。若存在实数r，使得1fxr，则应用微分中值定理, 可知nx满足压缩映射的条件1111nnnnnnnnxxfxfxfxxxr xx， 不过，这时必须验证，nx是否保持在fxr成立的范围之内。这样我们就可以通过构造函数，得到一个压缩映射，利用“不动点原理” 很快求出极限值。例 1：对于数列 nx，设01x =，1+2+1n n nxxx+=。求证：lim2nnx =。

15、证明：由01x =，1+211+1+1+1n n nnxxxx+ =。令( )()2,11xfxxx+=+，则( )()()211,121fxx x= - +。那么 nx一定存在极限，设其为x。那么21xxx+=+，可得( )22xx=-或舍，故lim2nnx =例2 设10x，nn nxxx2)1(2 1，求limnnx。解构造函数 xxxf2)1(2)(, 显然fx在0,连续可导，因0nx，故当0x时，22(1)2( )()02(2)xfxxx且22( )1(2)fxx，故1nnxfx为压缩映射。由定理4知nx收敛。设limnnxx，又f连续，即有xfx从而* *2)1(2xxx得2*x，

16、即2limnnx。上例通过构造函数，得到一个压缩映射，利用“不动点原理”很快求出极限值。2 应用不动点定理证明隐函数定理（隐函数定理）若满足以下条件：（1） 函数F在()000,Px y为内点的某一区域()0102,Dx yxxryyrR=-,fX“定义映射:TfTf?，使得() ( )( )( )()0,( ),xUxTfxf xcFx fxa“?-，则TfX?。,f gX“，由微分中值定理及(),yFx y的连续性得：()()( )( )0,m ax xUxT fT gT fxT gx ar ?=-()( )( )( )()( )()0,max,g x Uxfxg xc F x fxFxx a?轾=-臌()( )( )( ) () ( )()( )( )()0,max,1 x Uxfxg xcFxfxg xfxg x aqq ?=-+-()( ) () ( )()( )( )(