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1、数学学科参考答案及评分建议第 1 页（共 16 页）i1 While i 6 ii2 S2i3 End While Print S（第 3 题）宿迁市 2017届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计 70 分1 已知集合 034 A， ，1023 B， ， ，则 AB【答案】03，2 已知复数3i 1iz，其中i为虚数单位，则复数z 的模是【答案】53 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S是【答案】 17 4 现有 1 000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50 根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数见右上表， 据此估计这
2、1 000根中纤维长度不小于37.5 mm的根数是【答案】 1805 100 张卡片上分别写有1，2，3， , ， 100从中任取1 张，则这张卡片上的数是6 的倍数的概率是【答案】4 25（或 0.16）6 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24yx 上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是【答案】 2 纤维长度频数22.5，25.5) 3 25.5，28.5) 8 28.5，31.5) 9 31.5，34.5) 11 34.5，37.5) 10 37.5，40.5) 5 40.5，43.5 4 （第 4 题）数学学科参考答案及评分建议第 2 页（共 16 页）7 现有一个底面半径为3
3、 cm，母线长为5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗） ，则该铁球的半径是cm【答案】398 函数2( )lg 5f xx的定义域是【答案】22，9 已知na是公差不为0 的等差数列，nS 是其前 n 项和若2345a aa a ，927S，则1a 的值是【答案】510 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22481xy， 圆2C ：22669xy若圆心在x轴上的圆 C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是【答案】2281xy11如图，在平面四边形ABCD 中， O 为BD的中点，且3OA，5OC若 AB AD7，则 BCDC的值是【答案】
4、912在 ABC 中，已知2AB，226ACBC，则 tanC 的最大值是【答案】2 5 513已知函数20 ( ) 10xmx f x xx，其中0m若函数( )1yff x有 3 个不同的零点，则 m 的取值范围是【答案】 (01)，14已知对任意的xR， 3sincos2 sin23 axxbxabR，恒成立，则当ab 取得最小值时，a的值是【答案】4 5B C D O ( 第 11题) A 数学学科参考答案及评分建议第 3 页（共 16 页）二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分15 （本小题满分14 分）已知2sin410，2，求： （1）cos的值；（2）sin 24的值解：
5、（1）法一：因为2，所以3 5 444，又2sin410，所以2 2272cos1sin1441010,3 分所以coscos44coscossinsin44447 2222 10210235,6 分法二：由2sin410得，2sincoscossin4410，即1sincos5,3 分又22sincos1. 由解得3cos5或cos4 5因为2，所以3cos5,6 分（2）因为2，3cos5，所以2 234sin1cos155,8 分所以4324sin22sincos25525，2 237cos22cos12525,12 分数学学科参考答案及评分建议第 4 页（共 16 页）所以sin 2s
6、in2coscos2sin44422247 252252172 50,14 分16 （本小题满分14 分）如图，在直三棱柱111ABCABC 中， ACBC ，A1B 与 AB1交于点 D，A1C 与 AC1交于点 E求证： （1）DE平面 B1BCC1；（2）平面1A BC平面11A ACC 证明： （1）在直三棱柱111ABCA BC 中，四边形 A1ACC1为平行四边形又 E 为 A1C 与 AC1的交点，所以 E 为 A1C 的中点,2 分同理， D 为 A1B 的中点，所以 DEBC,4 分又 BC平面 B1BCC1，DE平面 B1BCC1，所以 DE平面 B1BCC1,7 分（2）
7、在直三棱柱111ABCA BC 中，1AA平面 ABC，又 BC平面 ABC，所以1AABC ,9 分又 ACBC ，1ACAAA，1ACAA，平面11A ACC ，所以 BC平面11A ACC ,12 分因为 BC平面1A BC ，所以平面1ABC平面11A ACC ,14 分B C1A C A1 B1D ( 第 16 题) E 数学学科参考答案及评分建议第 5 页（共 16 页）17 （本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221 (0)yxabab的离心率为2 3，C 为椭圆上位于第一象限内的一点（1）若点 C 的坐标为523，求 a，b 的值；（2）设 A
8、为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB1 2OC，求直线AB 的斜率解： （1）因为椭圆的离心率为2 3，所以222 3ab a，即225 9b a又因为点 C523，在椭圆上，所以2242519ab,3 分由解得2295ab，因为0ab，所以35ab，,5 分（2）法一：由知，225 9b a，所以椭圆方程为2222915yx aa，即222595xya 设直线 OC 的方程为xmy0m，11()B xy，22()C xy，由222595xmyxya，得2222595m yya ，所以22 25 59ay m因为20y，所以22559ay m,8 分因为 AB1 2OC，所以/ABOC 可
9、设直线AB的方程为xmya由222595xmyaxya，得22(59)100myamy，所以0y或210 59amym，得1210 59amym,11 分因为 AB1 2OC，所以112211 22xayxy，于是212yy ，( 第 17 题) O A B C x y 数学学科参考答案及评分建议第 6 页（共 16 页）即 2559am220 59am m0m，所以3 5m所以直线AB 的斜率为5 31 3m,14 分法二：由（ 1）可知，椭圆方程为222595xya ，则(0)Aa，设11()B xy，22()C xy，由 AB1 2OC，得112211 22xayxy，所以121 2xx
10、a，121 2yy ,8 分因为点 B，点 C 都在椭圆222595xya 上，所以222 2222 22 25951595.22xyayxaa，解得24ax，25 4 3ay，,12 分所以直线AB 的斜率225 3 3ykx,14 分18 （本小题满分16 分）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8 海里的 A 处，发现在其北偏东 30 方向相距4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3 倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功； （
11、 参考数据：sin17 3 6，335.7446 ）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由解： （1）设缉私艇在C 处与走私船相遇（如图甲），依题意，3ACBC ,2 分在 ABC 中，由正弦定理得，sinsinBCBACABCACsin120 33 6领海AB北( 第 18 题) 30公海l数学学科参考答案及评分建议第 7 页（共 16 页）因为 sin17 3 6，所以17BAC 从而缉私艇应向北偏东47方向追击,5 分在ABC中，由余弦定理得，2224cos1208BCAC BC，解得133 4BC1.68615又 B 到边界线l 的距离为 3.84
12、sin301.8 因为 1.686151.8 ，所以能在领海上成功拦截走私船,8 分（2）如图乙，以A为原点，正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy 则22 3B，设缉私艇在()P xy，处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则3PA PB，即22223(2)2 3xyxy整理得，229993444xy，,12 分所以点()P xy，的轨迹是以点99344，为圆心，3 2为半径的圆因为圆心99344，到领海边界线l ：3.8x的距离为1.55，大于圆半径3 2，所以缉私艇能在领海内截住走私船,14 分答： （1）缉私艇应向北偏东47方向追击；（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走
13、私船,16 分19 （本小题满分16 分）已知函数1( )exf x，( )lng xx ，其中 e 为自然对数的底数（ 1）求函数( ) ( )yf x g x 在 x1 处的切线方程；（ 2）若存在12xx，12xx，使得1221()()()()g xg xf xf x成立，其中为常数，求证：e；ABC图甲y 公海领海AB图乙60l x 数学学科参考答案及评分建议第 8 页（共 16 页）（ 3）若对任意的01x，不等式( ) ( )(1)f x g xa x恒成立，求实数a 的取值范围解： （1）因为ln( ) ( )exxyf x g x，所以211elnelneexxxxxxxxy，
14、故11 exy所以函数() ( )yf x g x 在 x1 处的切线方程为1(1)eyx，即e10xy,2 分（2）由已知等式1221()()()()g xg xf xf x得1122()()()()g xf xg xf x记( )( )( )lnexp xg xf xx，则e( )exxxp xx,4 分假设e若 0，则( )0p x，所以( )p x 在 0 +，上为单调增函数又12()()p xp x，所以12xx ，与12xx 矛盾,6 分若 0e，记( )exr xx ，则( )exrx令( )0rx，解得0lnx当0xx 时，( )0rx，( )r x 在0x ，上为单调增函数；
15、当00xx 时，( )0rx，( )r x 在00x，上为单调减函数所以0( )()=1ln)0r xr x（，所以( )0p x ，所以( )p x 在0 +，上为单调增函数又12()()p xp x，所以12xx ，与12xx 矛盾综合，假设不成立，所以e,9 分（3）由( ) ( )(1)f x g xa x得 lne (1)xxax 0记lne (1)xF xxax( )=， 0x 1，则211eeexx xF xaxxaxx( )=当1 ea 时，因为211 eexx，e0xx，所以0Fx( ) ，数学学科参考答案及评分建议第 9 页（共 16 页）所以 F x( ) 在0 +，上为单调增函数，所以(1)F xF() = 0 ，故原不等式恒成立,12 分法一：当1 ea时，由（ 2）知 eexx，3211eea xFxa xxx( ) ，当1 3e1ax时，0Fx( )，( )F x 为单调减函数，所以(1)F xF( )= 0 ，不合题意法二：当1 ea时，一方面1 =1e0Fa( )另一方面，111exa，11112 1111eeee10F xa xxax aaxx()所以01(1)xx ，使0=0F x()
