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1、2018 年高考数学（理）二轮复习教师用书- 1 -5.5.立体几何立体几何要点重温1几何体的三视图排列规则：俯视图放在正视图下面，侧视图放在正视图右面， “长对正，高平齐，宽相等 ”由几何体的三视图确定几何体时，要注意以下几点：(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体(2)注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线(3)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体应用 1 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个
2、圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)其直观图如图 11，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )图 11解析 俯视图是正方形，曲线在其上面的投影恰为正方形的对角线，故选 B.答案 B2空间几何体表面积和体积的求法几何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，求几何体的体积常用公式法、割补法、等积变换法应用 2 如图 12 所示，一个空间几何体的正视图和俯视图都是边长为 1 的正方形，侧视图是一个直径为 1 的圆，那么这个几何体的表面积为( )【导学号：07804184】图 12A4 B32018 年高
3、考数学（理）二轮复习教师用书- 2 -C2D 3 2答案 D应用 3 如图 13，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E，F为PA，PD的中点，则平面BCFE将四棱锥PABCD所分成的上下两部分的体积的比值为_图 13解析 设棱锥的底面ABCD的面积为S，高为h，VPABCDSh，1 3VFBDC SDBC Sh，同理VPADB hSh，1 3h 21 3S 2h 21 121 3S 21 6由于四棱锥BADFE和三棱锥BPAD等高，而 ，SADFE SPAD3 4所以VBADFE ShSh，所以下半部分的体积为Sh，上半部分的体积为3 41 61 85 24ShShSh，所以上
4、下两部分体积之比为 .1 35 243 243 5答案 3 53多面体与球接、切问题的求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2a2b2c2求解应用 4 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，
5、已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是( )32 3A96B1633C24D48332018 年高考数学（理）二轮复习教师用书- 3 -解析 如图，设球的半径为R，由 R3，得R2.4 332 3所以正三棱柱的高h4.设其底面边长为a，则 a2，1 332所以a4，3所以V(4)2448.3433答案 D应用 5 已知三棱锥ABCD内接于球O，且BCBDCD2，若三棱锥ABCD体积的3最大值为 4，则球O的表面积为( ) 3【导学号：07804185】A16B25C36D64解析 如图，当三棱锥的体积最大值为 4，即 (2)2h4，解得31 31 23323h4，点A在如图所示的位置时，三
6、棱锥的体积最大，即AO4，并且在如图所示的三角形中，OAOCR，OO4R，OC22，所以在直角三角形OOC中，333R2(4R)222，解得R ，球的表面积为S4R225，故选 B.5 2答案 B4空间平行问题的转化关系2018 年高考数学（理）二轮复习教师用书- 4 -平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有：三角形的中位线、平行线分线段成比例(三角形相似)、平行四边形等应用 6 下列命题正确的序号是_(1)如果a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面(2)如果直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行(3)如果直线a，b和平面满足a，b，那么ab.(4)如果直线a
7、，b和平面满足ab，a，b，那么b.答案 (4)5空间垂直问题的转化关系线线垂直线面垂直的判定线面垂直的定义线面垂直面面垂直的判定面面垂直的性质面面垂直垂直问题的核心是线线垂直，证明线线垂直的常用方法有：等腰三角形底边上的中线、勾股定理、平面几何方法等应用 7 已知两个平面垂直，下列命题一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题的个数是( )A3B2C1D0答案 B6平面图形的翻折，立体图形的展开等一类问题，要注意翻折
8、，展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性” 应用 8 (1)如图 14(1)，在 RtABC中，ABC90，BAC60，AB2，D、E分别为AC、BD的中点，连接AE并延长交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图 14(2)所示2018 年高考数学（理）二轮复习教师用书- 5 -图 14(1) 图 14(2)(1)求证：AE平面BCD；(2)求平面AEF与平面ADC所成的锐二面角的余弦值；(3)在线段AF上是否存在点M使得EM平面ADC？若存在，请指出点M的位置；若不存在，说明理由解 (1)证明：在 RtABC中，ABC90，D为AC的中点，ADBDDC，又BAC60，
9、所以三角形ABD为等边三角形；又E为BD的中点，AEBD.因为平面ABD平面BCD，交线为BD，AE平面ABD，所以AE平面BCD.(2)由AE平面BCD可知AEEF.由题意知EFBD，AEBD，故以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Exyz.由(1)得，ABBDDCAD2，BEED1，计算得AE，BC2，BF，3333则E(0,0,0)，D(0,1,0)，B(0，1,0)，A(0,0，)，3F，C(，2,0)，(33，0，0)3则(，1,0)，(0,1，)，DC3AD3易知平面AEF的一个法向量为(0,1,0)ED设平面ADC的法向量为n n(
10、x，y，z)，则Error!，即Error!，令z1，得y，x1，n n(1， ，1)33cosn n， .ED31 5155所以平面AEF与平面ADC所成的锐二面角的余弦值为1552018 年高考数学（理）二轮复习教师用书- 6 -(3)设，其中0,1，AMAF，其中0,1，AF(33，0， 3)AMAF(33，0， 3)，由n n0，解得 (0,1)EMEAAM(33，0，1 3)EM3 4所以在线段AF上存在点M，使EM平面ADC，且AMAF34.7. “转化法”求空间角(1)设两条异面直线a，b所成的角为，两条直线的方向向量分别为a a，b b.因为，故有 cos |cosa a，b
11、b|.(0， 2a ab b |a a|b b|(2)设直线l和平面所成的角为，l l是斜线l的方向向量，n n是平面的法向量，则 sin |cosl l，n n|.l ln n |l l|n n|(3)设二面角l的大小为，n n1，n n2是二面角l的两个半平面的法向量，则|cos |cosn n1，n n2|，两个角之间的关系需要根据二面角的取值范围来确定应用 9 在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O，D分别是AC，PC的中点，1 2OP底面ABC，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值解 OP平面ABC，OAOC，ABBC，OAOB，OAOP，OBOP.以O为原点，射线OP为z
12、轴正方向，OA为x轴正方向，OB为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz(如图)设ABa，则A，B，C，(22a，0，0)(0，22a，0)(22a，0，0)设OPh，则P(0,0，h)，由PAAB，则PA2a，1 2则P，.(0，0， 7 2a)PA(22a，0， 7 2a)可求得平面PBC的一个法向量为n n，(1，1，1 7)2018 年高考数学（理）二轮复习教师用书- 7 -cos，n n，PAPAn n|PA| |n n|21030设PA与平面PBC所成的角为，则 sin |cos，n n|.PA210308求点到平面的距离的方法(1)“等积法”：求解点到面的距离常转化为锥体的高，利
13、用三棱锥体积公式求点到平面的距离(2)“向量法”：如图，设P在平面外，n n为平面的法向量，在平面内任取一点Q，则点P到平面的距离d.|PQn n|n n|图 15应用 10 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为_. 【导学号：07804186】解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O.(1 2，1 2，1)设平面ABC1D1的法向量为n n(x，y，z)，则Error!Error!令z1，得Error!n n(1,0,1)，又，OD1(1 2，1
14、 2，0)2018 年高考数学（理）二轮复习教师用书- 8 -O到平面ABC1D1的距离d.|n nOD1|n n|1 2224答案 24查缺补漏1已知m，n为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A若m，m，则B若m，mn，则nC若m，mn，则nD若m，m，则D D 对于选项 A，若m，m，则可能，相交，或者，所以选项 A 不正确；对于选项 B，若m，mn，则可能n，或n，所以选项 B 不正确；对于选项 C，若m，mn，则n，或n，所以选项 C 不正确；对于选项 D，若m，m，则由线面平行可得在平面内存在一条直线l，使得ml，然后由m可得l，进而得出，故选 D.2. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是，(1,1,0)，(1，0，1 2)，(1,0,1)，画该四面体三视图中的正视图时，以yOz平面为投影面，则得到的(0，1 2，1)正视图可以为( )A A 由图可得，故选 A. 3如图 16，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：A1CMN；A1C平
