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1、第七章 弯曲应力7.1 概 述7.2 弯曲正应力7.3 弯曲切应力7.4 梁的强度计算7.5 梁的合理强度设计 7.6 非对称截面梁的平面弯曲与弯曲中心概念 7.7 两种材料的组合梁 内力应力FAyFSM7-1 概述在横截面上，只有法向内力元素dA才能合成 弯矩M，只有切向内力元素dA才能合成剪力.纯弯曲梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲）。剪力“Fs”切应力“”； 弯矩“M”正应力“”2.横力弯曲（剪切弯曲）aaFBAFMxFsxFaFF梁的横截面上既有弯矩又有 剪力的弯曲（横截面上既有正应 力又有剪应力的弯曲）。一、 纯弯曲和横力弯曲的概念 7.2 弯曲
2、正应力从三方面考虑：一、变形几何关系用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:变形几何关系物理关系静力学关系一、纯弯曲正应力由纯弯曲的变形规律纵向线应变的变 化规律。1、观察实验：2、变形规律：、横向线：仍为直线， 只是相对转动了一个角度 且仍与纵向线正交。、纵向线：由直线变为 曲线，且靠近上部的纤维 缩短，靠近下部的纤维伸 长。3、假设：（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转 动了一个角度。凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向 线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间
3、必有一层纵 向无长度改变的过渡层-称为中性层 。（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。中间层与横截面的交线中性轴梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。AabcdA4、线应变的变化规律：dxyoo1在弹性范围内，（二）物理关系：由纵向线应变的变化规律正应力的分布规律。abcd应力的分布图：MZymaxmax中性轴的位置？为梁弯曲变形后的曲率yxMZ（中性轴Z轴通过形心）（y轴为对称轴，自然满足）yzA弯曲变形计算的基本公式（三）、静力学方面：由横截面上的弯矩和正应 力的关系正应力的计算公 式。弯曲正应力计算公式。弯
4、矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。当M 0时，下拉上压；当M 5 （ 细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。弯曲正应力公式可推广应用于横力弯曲和小曲率梁1m2mBA截面关于中性轴对称截面关于中性轴不对称横力弯曲梁上的最大正应力例：求图示悬臂梁的最大、压应力。已知：10槽钢解：1）画弯矩图2）查型钢表：3）求应力：cmaxtmaxzy bh7-3 弯曲切应力一、 矩形截面梁横截面上的切应力 1、假设： 横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。 切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各 点切应力大小相等）。2、公式推导xd x图ay FsFs（x）+ d Fs（x） M（
5、x）M（x）+ d M（x）Fs（x）d xA h取出微段，长度为取出微段，长度为dxdx. .假设假设微段上的弯矩为微段上的弯矩为MM和和MM+d+dMM. .两截面上距中性轴两截面上距中性轴 y y1 1 处的处的微面积上所受的正应力为微面积上所受的正应力为 1 1 和和 2 2. .ZyA A* *mnxzyymFN2FN1dFSA A* *ABB1A1mnxzyymFN1FN2A A* *为距中性轴为为距中性轴为y y的横线以外部分的横截面面积的横线以外部分的横截面面积. .式中：式中：为面积为面积A A* *对中性轴的静矩对中性轴的静矩. .化简后得化简后得由平衡方程由平衡方程A A
6、* *ABB1A1mnxzyymFN2FN1dFSb矩型截面的宽度矩型截面的宽度. .yz整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩. .距中性轴为距中性轴为y y的横线以外部分横的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩截面面积对中性轴的静矩. .（4 4）切应力沿截面高度的变化规律）切应力沿截面高度的变化规律 沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩 与与y y之间的关系确定之间的关系确定. .z截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法A A为截面面积为截面面积为截面的形心坐标为截面的形心坐标A A1 1y1nBmAxyzOyA1B1m1可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化可见，切
7、应力沿截面高度按抛物线规律变化. .x maxmaxy y=h h/2/2（即在横截面上距中性轴最远处）（即在横截面上距中性轴最远处） =0=0y=y=0 0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值式中，式中，A=A=bhbh为矩形截面的面积为矩形截面的面积. .2、工字形截面梁的弯曲切应力假设 : / 腹板侧边，并沿其厚度均匀分布腹板上的切应力仍按矩 形截面的公式计算。 腹腹板的厚度板的厚度Ozydxy 距中性轴为距中性轴为y y的横线以外部分的横截的横线以外部分的横截 面面积面面积A A对中性轴的静矩对中性轴的静矩. . minminzy maxma
8、x maxmax（a a）腹板上的切应力沿腹板高度按二）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；次抛物线规律变化； （b b）最大切应力也在中性轴上）最大切应力也在中性轴上. .这也是这也是整个横截面上的最大切应力整个横截面上的最大切应力. .在翼缘上，有平行于在翼缘上，有平行于F FS S的剪应力分量，分布情况的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。在翼缘上，还有垂直于在翼缘上，还有垂直于F FS S方向的剪应力分量，它方向的剪应力分量，它与腹板上的切应力比较，一般来说也是次要的。与腹板上的切应力比较，一般来说也
9、是次要的。腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩截面上的大部分弯矩。ydzo假设：假设： （a a）沿宽度）沿宽度kkkk 上各点处的切应力上各点处的切应力 均汇交于均汇交于o o 点；点；（b b）各点处切应力沿）各点处切应力沿y y方向的分量沿方向的分量沿宽度相等宽度相等. .在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切. . 3. 3.圆截面梁圆截面梁最大切应力发生在中性轴上最大切应力发生在中性轴上ydzo式中式中为圆截面的面积为圆截面的面积. .4.4.圆环形截面梁圆环形截面梁图示为一段
10、薄壁环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁. .环壁厚度为环壁厚度为 ，环的平均半径为，环的平均半径为r r0 0，由于由于 r r0 0 故可假设故可假设（a a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；（b b）切应力的方向与圆周相切）切应力的方向与圆周相切. .zyr0式中式中 A A=2=2 r r0 0 为环形截面的面积为环形截面的面积横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为zyr0 maxmax解：、画内力图，求危险面内 力例、矩形截面 梁如图，试求最大正应力和最大切应力之比,MxqL/ 8Fs x求最大应力应力之比
11、从本例看出，梁的最大弯曲正应力与最大弯曲切应力之比的数 量级约等于梁的跨度l与梁的高度h之比。因为一般梁的跨度远 大于其高度，所以梁内的主要应力是正应力。弯曲正应力与弯曲切应力比较当 l h 时，max max当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力. .梁在梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲此种情况下的弯曲称为横力弯曲. .7-47-4 梁的强度条件梁的强度条件横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力. .切应力切应力使横截面发生翘曲，使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压横向
12、力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立. .横力弯曲横力弯曲虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的 计算横力弯曲时横截面上的正应力计算横力弯曲时横截面上的正应力. .等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为公式的应用范围公式的应用范围1.1.在弹性范围内在弹性范围内3.3.平面弯曲平面弯曲4.4
13、.直梁直梁2.2.具有切应力的梁具有切应力的梁一、弯曲正应力的强度条件一、弯曲正应力的强度条件1.1.数学表达式数学表达式梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力. .2.2.强度条件的应用强度条件的应用（2 2）设计截面）设计截面（3 3）确定许可载荷）确定许可载荷（1 1） 强度校核强度校核对于铸铁等对于铸铁等脆性材料脆性材料制成的梁，由于材料的制成的梁，由于材料的且梁横截面的且梁横截面的中性轴中性轴一般也不是对称轴，所以梁的一般也不是对称轴，所以梁的（两者有时并不发生在同一横截面上）（两者有时并不发生在同一横截面上）要求分别不超过材料的要求分别不超过材
14、料的许用拉应力和许用压应力许用拉应力和许用压应力解：1)求支座反力例、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的t=30 M Pa， c=60 M Pa.其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm， I z =764cm4 ，试校核此梁的强度。2m2m2mABCD2.5kNm-4k N m2）画弯矩图3）求应力 B截面（上拉下压）M C截面（下拉上压）M2m2m2mABCD2.5kNm-4k N m由于梁的横截面不 对称于中性轴，铸 铁的许用拉、压应 力又不同，而且最 大正弯矩与最大负 弯矩的数值相差不 大，因此，危险截 面可能在截面B， 也可能在截面C， 必须分别加以校核。 C截面（下拉
15、上压）:1m1m1mABCDF 2 =2kNF 1 =4.5 kN4 ) 强度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa2.5kNm-4k N mMB截面（上拉下压）:最大拉、压应力不在同一截面上A1A2y 2y 1C CzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa结论 对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面：x2.5kNm-4k N mMM例4-18 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截 面对中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许 用拉应力 t =30 MPa，许用压应力 c =90 MPa 。试求梁的许可荷载F 。解：1、梁的支反力为zyC 形心86134204018012020BF Cbq=F/bDbbAFB FA 据此作出梁的弯矩图如下发生在截面C发生在截面BzyC 形心86134204018012020Fb/2Fb/4BF Cbq=F/bDbbA2、计算最大拉、压正应力可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度 条件则B、C截面都要考虑。zyC 形心86134204018012020Fb/2Fb/4C截面B截面压应力拉应力拉应力压应力考虑截面
