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1、抢渡长江的另一种数学模型问题： “渡江”是武汉城市的一张名片。1934 年 9月 9 日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动， 起点为武昌汉阳门码头， 终点设在汉口三北码头，全程约5000 米。有44 人参加横渡，40 人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾， 上书“力挽狂澜”。2001 年， “武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002 年正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，定于每年的5 月 1 日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。2002 年 5 月 1 日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽
2、约 1160米。当日的平均水温16.8 ，江水的平均流速为1.89 米/秒。参赛的国内外选手共186 人（其中专业人员将近一半），仅 34 人到达终点，第一名的成绩为14 分 8 秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线, 两岸的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000 米，见图1。下面借助数学模型解决如下问题：（ 1）假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/ 秒。如果 2002 年第一名是按最优路径游泳的，试说明她是沿着怎样的路线前进
3、的，求她游泳速度的大小和方向。（ 2）在（1）的假设前提下，试为一个速度能保持在1.5 米/ 秒的人选择最佳的游泳方向，并估计他的成绩。（ 3） 在 （1） 的假设下， 如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他( 她) 们能否到达终点？并说明为什么 1934 年和 2002 年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。1160 m 1000m 长江水流方向终点 : 汉阳南岸咀图 1 起点: 武昌汉阳门（ 4）流速沿离岸边距离的分布为 ( 设从武昌汉阳门垂直向上为y轴正向 ) ：米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11. 22000
4、/47.1)(yyyyv(1) 游泳者的速度大小（1.5米/ 秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。（5）流速沿离岸距离为连续分布米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/)1160( 20028.2960200/28.22000/20028.2)(yyyyyyv游泳者的速度大小（1.5米/ 秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。一、模型分析（略）二、模型假设（1）在游泳过程中，游泳者的速度可以保持恒定不变（2）竞渡区域内各点水流速度不变（3）两岸是保持平行的（4）游泳过程中游泳者之间互不影响三、模型建立1. 设游泳者的速度大小和方向均不随时间变
5、化，即令)sincos()(uutu，而流速)0,()(vtv， 其中 u 和 v 为常数 , 为游泳者和x 轴正向间的夹角。于是游泳者的路线(x(t), y(t) 满足cos,(0)0,( )sin,(0)0,( )dxuvxx TLdt dyuyy THdt(1)T 是到达终点的时刻。令cosz，如果(1) 有解 , 则221,1)()(,)()(zTuHtzutyvuzTLtvuztx （2）y x L 0 H u v 图 1 因为 21)()(zuvuzHLtytx所以游泳者的路径一定是连接起、终点的直线，且2222221LHHLTuzvuuzvvuz（ 3）若已知 L, H, v,
6、T, 由（ 3）可得zTvTLu vTLHvTLz, )(22（ 4）由（ 3）消去T 得到)(12vuzHzLu（5）给定 L, H, u , v 的值， z 满足二次方程02)222222222uLvHuvzHzuLH（6）（6）的解为2222221 222()()H vLHL uH vzzHL u，（7）方程有实根的条件为22LHHvu（8）为使（3）表示的 T 最小，由于当 L, u, v 给定时 , 0 dzdT，所以 (7) 中 z 取较大的根 , 即取正号。将（7）的 z1代入（ 3）即得 T，或可用已知量表示为2222222)(vuLvvHuLHT（9）以 H = 1160 m
7、, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和第一名成绩T=848 s 代入（ 4） ，得 z= -0.641, 即=117.50，u=1.54 m/s。2. 以 H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和 u=1.5 m/s 代入（ 7） ， （3） ，得 z= -0.527, 即=1220，T=910s，即 15 分 10 秒。3. 游泳者始终以和岸边垂直的方向（y 轴正向）游, 即 z = 0, 由 （ 3） 得 T =L/v529s, u= H/T2.19 m/s。游泳者速度不可能这么快，因此永远游不到终点, 被冲到终点的下游去了。式（ 8）给出
8、了能够成功到达终点的选手的速度，其几何意义为：以速度向量v的终点为圆心，u为半径做半圆， O 与半圆上任意一点的连线为可能的合速度方向，当u小于v到OA 的距离时，合速度方向一定指向终点A 的下游，游泳者无法到达终点。反之，当u为半径的半圆与有唯一交点时， 合速度方向就是最优的游泳方向。当u为半径的半圆与有两个交点时，合速度大的方向就是最优速度。对于 2002 年的数据， H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s，只要 u 1.43 m/s 就能到达终点。假设1934 年竞渡的直线距离为5000 m, 垂直距离仍为H = 1160 m, 则 L=4864 m, 仍
9、设v= 1.89 m/s，则游泳者的速度只要满足u 0.44 m/s，就可以选到合适的角度游到终点。两次游到终点人数百分比差别的主要原因是游泳者路线（速度方向与水流方向的夹角）选择错误，被流水冲到下游。4. 如图 2，H 分为 H=H1+H2+H3 3 段，H1= H3=200 m, H2=760 m, v1= v3=1.47 m/s，v2= 2.11m/s, 游泳者的速度仍为常数u=1.5 m/s, 有 v1， v3 u, 相应的游泳方向1，2为常数。路线为ABCD, AB 平行 CD。 L 分为L=L1+L2+L3, L1=L3, 据（ 8） ，对于 v2 u , L2应满足)752222
10、 2 22muuvHL（10）因为 v1v/2，由（ 16）对 L1无要求。对于第 2 段 H2=760 m，仍用（ 9） ， （10） ，应有 L2 870 m，且第 2 段的时间22222 222 22 22)(vuvLvHuLH T （ 18）注意到L1=L3= ( L -L2)/2，T1=T3, 得总的时间为122TTT（19）用枚举法作近似计算：将L2从 880 m 到 1000 m 每 20 m 一段划分，相应的L1， L3从 60 m到 0 m 每 10 m 一段划分，编程计算可知L1=L3=40，L2=920 时 T=892.56(s)最小，即14 分53 秒，1=3=126.870， 2=115.040。
