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1、大学数学中的重要知识点1. 数列极限定义 ：设|Xn| 为一数列，如果存在常数a 对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数 N， 使 得当 nN时，|Xn - a|0，有一正整数N，当 m,nN时，有|xn-xm|0，有 Z属于实数，当 x,yZ 时，有 |f(x)-f(y)| 成立。4 函数的连续性如果函数f(x)在点 x=a 处及其附近有定义，而且函数在x=a 处的极限值和f(a)相等，就说函数 f(x)在 x=a 处连续。函数若在区间(m,n) 内所有点上都连续，就说函数在区间(m,n) 内连续。函数若在区间(m,n) 内所有点上都连续，而且在x=m点上右极限等于f(m) ，在
2、x=n 点上左极限等于f(n) ，就说函数在区间m,n 内连续。5 导数的定义一般地，假设一元函数 y f(x )在 x0 点的附近 (x0 a ，x0 a) 内有定义 ; 当自变量的增量x x x00 时函数增量yf（x） f （x0）与自变量增量之比的极限存在且有限, 就说函数f 在 x0 点可导，称之为f 在 x0 点的（或变化率). 导数的几何意义若函数 f 在区间 I 的每一点都可导， 便得到一个以I 为定义域的新函数， 记作 f(x) 或y ，称之为f 的导函数，简称为导数。函数 yf （x）在 x0 点的导数f （x0）的几何意义：表示函数曲线在P0x0，f（x0） 点的切线斜率
3、6 微分的定义设函数 y = f(x) 在 x 的领域内有定义，x0 及 x0 + x 在此区间内。如果函数的增量y = f(x0 + x) - f(x0)可表示为y = A x + o(x) （其中 A是不依赖于x 的常数），而o( x0) 是比 x 高阶的无穷小，那么称函数f(x) 在点 x0 是可微的，且Ax称作函数在点x0 相应于自变量增量x 的微分，记作dy，即 dy = A x。函数的微分是函数增量的主要部分，且是 x 的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（X）（其实我觉得导数和微分就是一个东西，不用太区分开了的）7 拉格朗日中值定理如果函数f(x)在（ a，b）上可导，
4、 a,b上连续，则必有一a,b 使得f()*(b-a)=f(b)-f(a) 示意图令 f(x) 为 y，所以该公式可写成 y=f(x+x)* x (0 1) 8 泰勒公式若函数 f(x)在开区间（ a，b）有直到 n+1 阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f(x.)(x-x.)+f(x.)/2!?(x-x.)2,+f(x.)/3!?(x-x.)3+ +f(n)(x.)/n!?(x-x.)n+Rn 其中 Rn=f(n+1)()/(n+1)!?(x-x.)(n+1),这里 在 x 和 x. 之间9 不定积分设 F（x) 是函数
5、 f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x) C （C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即f(x)dx=F(x) C。不定积分其中叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。由定义可知：求函数 f(x)的不定积分， 就是要求出f(x)的所有的原函数， 由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。10 实数的完备性（1）确界原理（上面有）（2）单调有界定理若数列 an 递增（递减）有上界（下界），则数列an 收
6、敛，即单调有界函数必有极限。（3）区间套定理有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0 （即这些线段的长度最终会趋近于0） ，则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。（开区间同理）（4）有限覆盖定理设 H为闭区间 a,b的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖a,b.开覆盖的定义：设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，（即H中每一个元素都是形如(a,b) 的开区间 ). 若 S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称 H为 S的一个开覆盖，或简称H覆盖 S. 若 H中的开区间的个数是有限（无限）的，那么就称H为 S的一个有限（无限）覆盖. （5）聚点定理聚点定理 ( 也称为维尔斯特拉斯聚点定理) 经典形式 : 实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点. （聚点：设S为数轴上的点集,e 为定点 ( 它可以属于S,也可以不属于S), 若 e 的任何 邻域内都含有S中的无穷多个点,则称 e 为点集 S的一个聚点 . ）（6）柯西收敛定理（上面有）
