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1、第一部分 教材梳理第7节 特殊的平行四边形第四章 图形的认识（一）知识梳理概念定理 1. 特殊平行四边形的定义（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形.它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形.2. 特殊平行四边形的性质（1）矩形的性质边：对边平行且相等.角：四个角都相等（都等于90）、邻角互补.对角线：对角线互相平分且相等.对称性：轴对称图形（对称轴为对边中点连线所在直线，有2条）；中心对称图形.（2）菱形的性质边：四条边都相等.角：对角相等、邻角互补.对角线
2、：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角.对称性：轴对称图形（对称轴为对角线所在直线，有2条）；中心对称图形.（3）正方形的性质边：四条边都相等.角：四个角都相等（都等于90）.对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为45.对称性：轴对称图形（对称轴有4条）；中心对称图形.3. 特殊平行四边形的判定方法（1）矩形的判定（满足下列条件之一的四边形是矩形）有一个角是直角的平行四边形.对角线相等的平行四边形.四个角都相等的四边形.（2）菱形的判定（满足下列条件之一的四边形是菱形）有一组邻边相等的平行四边形.对角线互相垂直的平行四边形.四条边都相等的四边形.（3）正方形的判定（满足下列
3、条件之一的四边形是正方形）有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形.有一组邻边相等的矩形.对角线互相垂直的矩形.有一个角是直角的菱形.对角线相等的菱形.主要公式 特殊平行四边形的面积公式（1）设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab.（2）设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah;若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形= ab.（3）设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=a2；若正方形的对角线的长为a，则S正方形= a2.方法规律 特殊平行四边形的说明方法（1）矩形的说明方法（三种）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角.先说明
4、四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等.说明四边形ABCD的三个角是直角.（2）菱形的说明方法（三种）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等.先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线互相垂直.说明四边形ABCD的四条边相等.（3）正方形的说明方法（四种）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等.先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线互相垂直且相等.先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形ABCD的一组邻边相等（或对角线互相垂直）.先说
5、明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角（或对角线相等）.中考考点精讲精练考点1 矩形的性质和判定考点精讲【例1】（2016广州）如图1-4-7-1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求ABD的度数. 思路点拨：首先说明OA=OB，再得出ABO是等边三角形即可解决问题. 解：四边形ABCD是矩形，OA=OC，OB=OD，AC=BD.AO=BO.AB=AO，AB=AO=BO. ABO是等边三角形. ABD=60.考题再现1. （2016兰州）如图1-4-7-2，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CEBD，DEAC，AD= ，DE=2，则四边形OCED
6、的面积（ ）A2. （2016广东）如图1-4-7-3，矩形ABCD中，对角线AC= ,E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B处，则AB=_.3. （2016茂名）如图1-4-7-4，已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD=_.24. （2015梅州）如图1-4-7-5，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为_.考点演练5. 在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）A. AB=CD，AD=BC，AC=BD
7、 B. AO=CO，BO=DO，A=90C. A=C，B+C=180，ACBDD. A=B=90，AC=BDC6. 如图1-4-7-6，在矩形ABCD中（ADAB），点E是BC上一点，且DE=DA，AFDE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是 （ ）B7. 如图1-4-7-7，在ABCD中，ABD的平分线BE交AD于点E ，CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD. （1）求证：ABECDF； （2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形.证明：（1）在ABCD中，AB=CD，A=C. ABCD，ABD=CDB. BE平分ABD，DF平分CDB，ABE= ABD，CDF= CDB. A
8、BE=CDF.在ABE和CDF中，ABECDF（ASA）.（2）ABECDF，AE=CF.四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC.DEBF，DE=BF.四边形DFBE是平行四边形.又AB=DB，BE平分ABD，BEAD，即DEB=90.平行四边形DFBE是矩形.考点点拨：本考点是广东中考的次高频考点，题型一般为填空题或解答题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握矩形的性质和判定定理并加以灵活运用（相关要点详见“知识梳理”部分）.考点2 菱形的性质和判定考点精讲【例2】（2016梅州）如图1-4-7-8，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，
9、再分别以点B，F为圆心，大于 BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF. （1）四边形ABEF是_；（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为_，ABC=_. 思路点拨：（1）先证明AEBAEF，推出EAB=EAF，由ADBC，推出EAF=AEB=EAB，得到BE=AB=AF，由此即可知四边形ABEF为菱形. （2）根据菱形的性质首先证明AOB是含有30角的直角三角形，由此即可解决问题. 答案：（1）菱形 （2）考题再现1. （2015广东）如图1-4-7-9，菱形ABCD的边长为6，ABC=60，则对角线AC的长是_.2.
10、 （2014珠海）边长为3 cm的菱形的周长是（ ）A. 6 cmB. 9 cmC. 12 cmD. 15 cm6C3. （2016聊城）如图1-4-7-10，在RtABC中，B=90，点 E是AC的中点，AC=2AB，BAC的平分线AD交BC于点D，作AF BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC. 求证：四边形ADCF是菱形. 证明：AFCD，AFE=CDE. 在AFE和CDE中，AEFCED. AF=CD. AFBC，四边形ADCF是平行四边形. B=90，AC=2AB,ACB=30.CAB=60. AD平分CAB，DAC=DAB=30=ACD. DA=DC. 四边形ADCF是菱形.
11、考点演练4. 如图1-4-7-11，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EFAC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF.若AB= ，DCF=30，则EF的长为（ ）A5. 如图1-4-7-12，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若COB=60，FO=FC，则下列结论：FBOC，OM=CM;EOBCMB;四边形EBFD是菱形,其中正确结论的个数有（ ）A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 0个B6. 如图1-4-7-13，已知ABC中，ACB=90，EC是中线， ACD与ACE关于直线AC对称. （1）求
12、证：四边形ADCE是菱形； （2）求证：BC=ED. 证明：（1）ACB=90，EC是中线，EA=EC.ACD与ACE关于直线AC对称,ACDACE.EA=EC=DA=DC.四边形ADCE是菱形.（2）四边形ADCE是菱形，CDAE且CD=AE.AE=EB，CDEB且CD=EB.四边形BCDE为平行四边形.BC=ED. 考点点拨：本考点是广东中考的次高频考点，题型不固定，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握菱形的性质和判定定理并加以灵活运用 （相关要点详见“知识梳理”部分）.考点3 正方形的性质和判定考点精讲【例3】（2016广东）如图1-4-7-14，正方形ABCD的面积为1，
13、则以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为（ ）思路点拨：由正方形的性质和已知条件得出BC=CD= =1，BCD=90，CE=CF= ，得出CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长.答案：B考题再现1. （2015深圳）如图1-4-7-15，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG，现在有如下4个结论：ADGFDG；GB=2AG；GDEBEF；SBEF= .在以上4个结论中，正确的有（ ）A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个C2. （2016广州）如图1-4-7-
14、16，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线. 将DCB绕着点D顺时针旋转45得到DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG. 则下列结论：四边形AEGF是菱形；AEDGED；DFG=112.5;BC+FG=1.5. 其中正确的结论有_（填序号）.3. （2014梅州）如图1-4-7-17，在 正方形ABCD中，E是AB上一点，F是 AD延长线上一点，且DF=BE. （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且GCE=45， 则GE=BE+GD成立吗？为什么？（1）证明：四边形ABCD为正方形，在CBE和CDF中，CBECDF（SAS）.CE=CF.（2）解：GE=B
15、E+GD成立.理由如下:由（1）得CBECDF,BCE=DCF.BCE+ECD=DCF+ECD，即ECF=BCD=90.又GCE=45，GCF=GCE=45.在ECG和FCG中，ECGFCG（SAS）.GE=GF.GE=DF+GD=BE+GD.考点演练4. 已知四边形ABCD，则下列说法正确的是（ ）A. 若ABCD，AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形B. 若ACBD，AC=BD，则四边形ABCD是矩形C. 若ACBD，AB=AD，CB=CD,则四边形ABCD是菱形D. 若AB=BC=CD=AD，则四边形ABCD是正方形A5. 如图1-4-7-18所示，在RtABC中，BAC=90，AD=CD， 点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F， AGBC，交DE于点G，连接AF,CG. （1）求证：AF=BF； （2）如果AB=AC，求证：四边形 AFCG是正方形.证明
