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1、12.5 关于线性预测的进一步讨论上一节使用的AR模型等效于一个 p 阶的线 性预测器。即Yule-Walker方程等效于 Wiener-Hopf 方程。但估计的功率谱的分辨 率不理想，其原因是仅用了前向预测，即对同样一组数据，我们可以实现双向预测：Forward Prediction前向预测 误差序列误差功率Backward Prediction后向预测 误差功率对同一组数据 的后向预测后向预测 误差序列令：可以得到使 最小的 及 。当然也可使用正交原理得：后向预测的Wiener-Hopef Eq可以证明：前、后向预 测对等关系上述结果表明，使用已知的 p 个数据，我们可 以实现前向预测，也
2、可以实现后向预测，两种 情况下可各自得到对等的Wiener-Hopf方程。 将它们单独使用，所得分辨率都不理想。可以 设想，如将二者结合起来，即同时使前向、后 向预测误差功率为最小，应能得到更好的分辨 率。人们在线性预测方面进行了大量的研究。前、后向预测误差序列有如下的关系：初始条件反射 系数上述关系引出了线性预测中的Lattice结构。这 一结构在现代谱估计、语音信号处理中有着 重要的应用。上述的关系还是集总平均。对实际的信号 ：单个样本有限长，求均值要简化，对取代的范围N点数据，前向预测误差序列范围上三角+中间块+下三角：上、下加窗；中间块：上、下不加窗；中间块+上三角：下不加窗、上加窗；
3、中间块+下三角：上不加窗、下加窗；12.6 AR模型系数求解算法AR模型系数求解算法很多，人们目前仍在探 讨新的求解算法。目前，常用的算法是：1. 自相关法2. Burg算法3. 协方差(covariance)方法；4. 改进的协方差算法（modified ) , 又称：Marple 算法5. 最大似然（Maximum Likelihood)估计3. 递推算法：由 求 ，由 递推，还是直接由 递推各算法之间的主要区别：1. 的取值范围，即选择那一个？2. 仅用前向预测，还是前后向都预测？即 令 最小，还是 最小？一、自相关法令：使用使用前 向预测使最小，得注意：矩阵 的结果， 即是对有限长数据
4、求出的自相关 函数，因此，上式等效于：自相关法的特点：1. 只用前向预测，且 等效前、后加窗, 分辨率不好;2. 用 ，得到的 是Toeplits阵，才 可能用Levinson算法求解；3. 实际上是我们前面讨论过的Yule-Walker 方 程。方法最简单。二、Burg算法使用前、 后向预测前、后 都不加 窗Lattice 结构， 递推算 法先求： 令：得到 的 求解公式：再用 Levinson 递推求 其它递推步骤1、 令： 求出2、求 时的参数3、求出 ，再求4、用Levinson算法，求 时的5、重复上述过程，直到Burg算法：一个公 认的较好的算法。Burg 算法的特点：1. 同时使
5、用前向后后向预测，即使最小2. 的选择保证前、后不加 窗，即3. 在每一级， 仅对 最小，然后套用自 相关法的Levinson递推算法，影响分辨率；4. 直接用数据递推，方法简单。三、改进的协方差法Marple方法同Burg 算法注意：这是Marple 算法和Burg算法的最 大区别。Burg算法仅：上述最小化的结果是得到一个协方差方程：注意：该矩阵不是Toeplitz矩阵，因此不能用 Levinson算法求解。Marple于1983年给出的求 解上式的快速递归算法。所以，该算法称作“ 改进的协方差法，或Marple算法。该算法的 估计性能最好，但计算复杂。（e）Burg算法 Burg算法 （
6、g）Marple算法 Marple算法12.7 MA模型再推导一步，有：非线性方程组MA模型的正则方程从谱估计的角度，MA模型等效于经典法中 的间接法，所以分辨率低。因此，MA模型 用于谱估计无优势。但，MA模型：1. 常用于系统辨识；2. ARMA模型中包含了MA部分。令其等效为 模型求解算法：由于MA模型的正则方程是非线性方 程，所以人们提出了很多的求解算法，如谱分解 、基于迭代的方法、基于高阶AR模型近似的方 法。后者最好用，基础是Wold分解定理。 对 建立 一个无穷阶 的AR模型于是有：步骤：1、由 ,建立 得;2、对 建立 阶线性预测器，系数为,即建立两次AR模型。近 似12.8
7、ARMA(p,q)模型ARMA模型 的正则方程对第二个式子，可以先 求 ，然后再解第一个方程，求 出 ；但这样做的效果不好，一是 的性能不好，二是第一个方程也不好求解。首 先，建立一个超定方程（方程个数未知数）： 用求伪逆的方法可求出 ；注意，伪逆可用奇异值分解（SVD）的方法求解；求出 后，剩下的工作是求2、用 对 滤波；3、 滤波输出 相当于一 MA（q) 过程，按 上节MA模型的求解方法，可求 出 ARMA(p,q)模型 的 参数。ARMA 模型系数求解的方法：1 先求出： ，它们可构成 ；（a）MA(10) （b）MA(16) （c） ARMA(10,10) （d）ARMA(10,13
8、)12.10 基于矩阵特征分解的功率谱估计假定信号由 M 个复正弦加白噪声组成：已知：不会 奇异可构成目标：1. 由该矩阵估计 个正弦信号的频率和幅度；2. 估计信号 的功率谱；定义：为信号向量，它包含了 个复正 弦，其频率和原信号的频率相同。求解的关键是自相关矩阵的分解：信号相 关阵的 表示因为：所以：相关矩阵的 分解：信号 部分和噪声 部分秩是秩为秩为再定义特征 分解借用特征向 量的特点主 特征向量构成的 p+1维 空间构成的 M维信 号空间构成的噪 声空间信号空 间特征 值基于噪声子空间的频率估计和功率谱估计：噪声空 间只有 一个特 征向量 可以证明：和信 号向量正交即：求解上式，可得到
9、 的 个根，它们都在单位圆上，因此可求出 实现了频率估计M 阶多项式方法：1. 由 估计 ，由构成 ，并假定 ；2. 对 作特征分解，找最小的 ，及3. 代入上式，解出： 实现了频率估计。 4. 由下式，求求出5. 由按上述步骤，可求出正弦信号的参数Pisarenko 谐波分解若噪声空间向量不止一个，估计信号的频率 ，可应用谱估计的方法。1. 若MUSIC(Multiple Signal Classification)方法2. 若EV(Eigenvector)方法用特征分解求出的功率谱曲线与本章内容有关的MATLAB文件：1. pyulear.m 用AR模型的自相关法估 计信号的功率谱，其基本
10、调用格式是：Px, F = pyulear(x, order, Nfft, Fs)2. pburg.m 用AR模型的Burg算法估计信 号的功率谱，其基本调用格式是：Px, F = pburg(x, order, Nfft, Fs)（一）、 有关功率谱估计的MATLAB文件3. pcov.m 用AR模型方差方法估计信号的功率谱，其基本调用格式是：Px, F = pcov(x, order, Nfft, Fs)4. pmcov.m 用AR模型的改进的方差方法估计信号的功率谱，其基本调用格式是：Px, F = pmcov(x, order, Nfft, Fs)5. pmem.m 最大熵功率谱估计，
11、其估计性能类似pyulear, 其基本调用格式是：Px, F = pmem(x, order, Nfft, Fs)6. pmusic.m 用自相关矩阵分解的MUSIC算法估计信号的功率谱，其基本调用格式是：Px, F = pmusic(x, order, Nfft, Fs)7. peig.m 用自相关矩阵分解的特征向量法估计信号的功率谱，其基本调用格式是：Px, F = peig(x, order, Nfft, Fs), Px, F，V, E = peig(x, order, Nfft, Fs),x :信号向量，order:模型的阶次，Fs:抽样频率， Nfft:对x作FFT时的长度。Px:估
12、计出的功率谱， F是频率轴坐标。对peig, 输出的E 是由自相关矩 阵的特征值所组成的向量，V是由特征向量组成 的矩阵。V的列向量张成了噪声子空间，V的行 数减去列数即是信号子空间的维数。 （二）有关AR模型参数估计的文件：包括：aryule, arburg, arcov 及 armcov。8. aryule.m 用自相关法(即Yule-Walker法)估 计AR模型的参数，其基本调用格 式是：a, E = aryule(x, order), a, E，k = aryule(x, order)9. arburg.m 用Burg算法估计AR模型的参数，其基本调用格式是：a, E = arbur
13、g(x, order)a, E，k = arburg(x, order)10. arcov.m 用方差方法估计AR模型的参数，其基本调用格式是：a, E = arcov(x, order) 11. armcov.m 用改进的方差方法估计AR模型的参数，其基本调用格式是：a, E = armcov(x, order)x ：信号向量；order：模型的阶次；a：AR模型系数向量；E：AR模型输入白噪声的功率，或order阶线 性预测器的最小预测误差。k： 反射系数向量。 （三）有关线性预测的MATLAB文件12 lpc ： 用来计算线性预测系数。a=lpc(x, order); 其作用等同于 aryule；13 ac2poly ：由自相关函数求线性预测系数 a, E=ac2poly(R);14. Poly2ac： 由线性预测系数求自相关函数。 Rpoly2ac(a, E);15 ac2rc 由自相关函数得到反射系数及。k, R0=ac2rc(R);16 rc2ac 由反射系数及得到自相关函数。Rrc2ac(k, R0);17 poly2rc 由线性预测系数得到反射系数k=poly2rc(a), 或k, R0=poly2rc(a, E);17 rc2poly 由
