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1、1 西南交通大学峨眉校区2016 年全国大学生数学建模竞赛题目 A 题 蔬菜的运输问题姓名所在学校联系电话QQ 2 对蔬菜的运输问题的研究本文针对蔬菜的运输问题进行分析， 针对蔬菜运输时所需要注意的蔬菜供应量，需求量，运输距离，运输补贴，短缺补偿等约束性条件，运用lingo编程的方法解决如何进行蔬菜运输来分别使各类要求的支出最少的问题。问题一中，要求如果不考虑短缺补偿， 只考虑运费补贴最少， 请为该市设计最优蔬菜运输方案。 根据题目的意思， 无论其中哪些销售点需求短缺，只要能使该使总体运输成本最少， 即各个基地到各个销售点各自所运输的蔬菜吨数乘上运输的距离再乘上 0.4 所得之和最小，就能使运
2、输补贴最少. 我们将供货商和销售点需求分别编号a和b，数量是从 18和 135。从题中可以看出其约束条件，所有销售点从第iA 基地获得的蔬菜数量应该等于该基地所生产的蔬菜数量；所有基地给jB 销售点提供的蔬菜数量要大于等于0， 并且应该小于或等于该点的需求量。给定约束条件后使用LINGO做线性规划， 写出约束条件， 列出数据。 最终得到各个基地分别运输到每个销售点的蔬菜数量( 具体分配方案数据太多，在此不一一列举) ， 并根据附件 3 中的各个基地到各个销售的的距离算出总运输距离35861.1 公里，将其乘上 0.4 后即可得到总共需要支出的运费补贴1433.44 元。问题二中，增添了对短缺补
3、缺的考虑， 规定各蔬菜销售点的短缺量一律不超过需求量的 30% ，在同时考虑短缺补偿和运费补贴的情况下再次设计最有蔬菜方案。由题意即是要求总费用， 具体步骤仍同问题一， 需要变化的分别是总费用w的表达式和关于销售点需求的约束条件。w变为原运输补贴的公式再加上每个销售点每吨短缺蔬菜的数量乘上各个销售点不同的短缺补偿，短缺数量需要用各个销售点的需求减去所有基地供给给这个的销售点的蔬菜数量之和。而约束条件则是在上题的基础上增加一条：所有基地给jB 销售点提供的蔬菜数量要大于等于70% 的需求量。在此基础上使用 LINGO 计算出结果， 最终得到总支出为 52035.1元。（具体分配方案数据太多在此不
4、一一列举，详见下文求解部分或附件）。 问题三中，要求增加任意两个基地的生产数量，使得不存在短缺情况出现， 然后视运费补贴最小的情况来确定哪两个基地分别增加多少的产量。由题意，我 们首先设置一个 0-1变量im ，当基地i要增加规模的时候，其值为 1，否则为 0. 设第i个基地增加的生产量为il，然后确立其约束条件为：增加的蔬菜总量等于需求量减去原生产量，增加的生产量il 乘上0-1变量im 等于增加的蔬菜总量，所有销售点从第iA 基地获得的蔬菜数量应该等于该基地原生产的蔬菜数量加上新增的总量；所有基地给jB 销售点提供的蔬菜数量要等于该点的需求量；0,1im；所有的im之和要等于 2.使用LI
5、NGO 计算出结果，得到最优解是基地二和基地六共增产90.1吨。 本文最大特色是使用LINGO进行线性规划得到最优解， 并使用 0-1 变量来更 方便的解出方案。灵敏度的分析也增加了方案的更多弹性，使其更加方便。关键词：0-1 变量规划、 lingo ，线性规划3 一、问题的提出某市在郊区建立了8 个蔬菜基地，每天需要将全部的蔬菜运输到市区的35 个蔬菜销售点进行销售。 如果蔬菜销售点的需求量不能满足，则市政府要给予一 定的短缺补偿。 同时市政府还按照蔬菜基地供应蔬菜的数量以及路程，发放相应 的运费补贴，运费补贴标准为0.4 元/ （1 吨.1 公里） 。 相关数据“蔬菜基地日供应量”、 “蔬
6、菜销售点日需求量及短缺补偿” 、 “基地 与销售点之间的运输距离”见表。 （1）如果不考虑短缺补偿，只考虑运费补贴最少，请为该市设计最优蔬菜 运输方案。 （2）若规定各蔬菜销售点的短缺量一律不超过需求量的30% ，且考虑短缺 补偿和运费补贴，请为该市重新设计蔬菜运输方案。 （3）为满足市民的蔬菜供应，该市决定选择其中2 个基地扩大蔬菜生产面 积。试建立数学模型， 确定基地选择方案及相应的新增蔬菜量，并重新设计蔬菜 运输方案，使运费补贴最少。二、基本假设1、假设：每天每个基地给予每个销售点的蔬菜数量相同，不存在特殊原因使其 变化； 2、假设：每个销售点蔬菜来源仅来自生产基地，生产基地的蔬菜会仅运
7、输并全 部运输到销售点； 3、假设：销售点得到的数量总和等于生产总和； 4、假设：每个基地和每个销售点相互独立； 5、假设：八个基地和三十五个销售点被一视同仁，不存在特殊情况； 6、假设：所有运输的蔬菜都可以在每日规定的时间内从不同的蔬菜基地送达指 定的销售点；忽略运输路上其他的损耗； 7、假设：每个基地的生产蔬菜数量不会变化，每个基地对于蔬菜的需求也不会 发生变化；三、符号说明符号意义单位备注ia第i个基地供应的蔬菜数量吨jb第j个销售点需求的蔬菜数量吨4 ijC基地i与销售点j之间的运输 距离公里i第i个蔬菜基地的序号*18ixxxn且j第j个销售点的序号*135jxxxn且s每吨蔬菜每公
8、里的运费补贴元/ （1 吨 *1 公里）0.4sijx从基地i运往销售点j蔬菜量吨jdilim第j个销售点短缺可获得的短缺补贴第三问中第i个基地增加的蔬菜数量第i个基地是否增加了数量， 是为 1，否为 0元/ 吨吨四、问题分析对于问题一， 如果不考虑短缺补偿， 只考虑运费补贴最少， 为该市设计最优 蔬菜运输方案。因为不需要考虑短缺补偿，所以我们只需要关注运费补贴最少， 而运费补贴为 0.4 乘以公里数乘以运输重量， 所以我们只需要求得所有的和最少 的情况。我们需要设置280（835）个未知量，再用lingo软件求解即可。 对于问题二，规定各蔬菜销售点的短缺量一律不超过需求量的30% ，且需要
9、同时考虑短缺补偿和运费补贴， 然后据此为该市重新设计蔬菜运输方案。根据题 目要求，首先我们给约束条件在问题一的约束条件基础上增加一条：所有基地给 Bj 销售点提供的蔬菜数量要大于等于70% 的需求量。将最后的总费用分为两个方 面，一是运输补贴，二是短缺补贴，相加之后列出表达式。使用LINGO 进行线性 规划，建立数学模型并计算出分配方案。 对于问题三，要求增加任意两个基地的生产数量， 使得不存在短缺情况出现， 计算最小的运费补贴。由题意，我们首先设置一个0-1 变量im ，当基地i要增加规模的时候，其值为1，否则为 0. 设第i个基地增加的生产量为il，然后改变其约束条件为：增加的蔬菜总量等于
10、需求量减去原生产量，增加的生产量il 乘上 0-1变量im 等于增加的蔬菜总量，所有销售点从第iA 基地获得的蔬菜数量应该等于该基地原生产的蔬菜数量加上新增的总量；所有基地给jB 销售点提供的蔬菜数量要等于该点的需求量；0,1im；所有的im之和要等于2.在此基础上使用 LINGO5 进行线性规划，建立数学模型并计算出分配方案。五、模型建立与求解5.1 问题一的分析与求解5.1.1 问题一的分析本文旨在针对题目要求， 不需要关心需求短缺的问题， 只需设计出使运费补 贴最小的分配方案。我们主要应考虑的有3 个相关因素：每个基地的蔬菜数量， 每个销售点的销售需求， 以及每个基地到每个销售点之间的距
11、离。在三个相关因素的影响下还存在着两个约束条件， 所有销售点从第iA 基地获得的蔬菜数量应该等于该基地所生产的蔬菜数量，以及所有蔬菜生产基地给jB 销售点提供的蔬菜数量要大于等于 0，并且应该小于或等于该点的需求量。根据这个目标，三个相 关因素和两个约束条件，我们需要使用LINGO进行线性规划。 5.1.2 问题一模型的建立 由题目要求，我们可知本题最终要求的是最小运费补贴，而从基地i运送到j销售点的运费补贴为ijijs Cx，从而我们可以得到第一问的目标函数为：83511minijij ijsCx（1）显然，我们可以知道从每个基地运出去的运输总量应该是等于各自的供应量。如果小于 供应量，那就
12、还会给另外需要补偿的销售点运输。由此，我们得到：351iji jxa（2）另外，每个销售点收到的蔬菜量应该小于等于其需求量，所以有：81iji ixb（3）综合（ 1） （2） （3）式我们可以得到最终模型为：83511minijij ijsCx351 81,1,2,.,8.,1,2,.,350iji jiji iijxa istxbjx5.1.3 问题一模型的求解根据 5.1.2 得到的模型，我们运用 lingo 软件进行求解 （程序及输出结果见附录） ，我们得到并整理分配方案如下表： （无数字代表 0）基地 1 基地 2 基地 3 基地 4 基地 5 基地 6 基地 7 基地 8 销售点
13、1 6.5 6 销售点 2 0.7 4.5 5 销售点 3 12 销售点 4 14.3 销售点 5 13 销售点 6 11 销售点 7 14 销售点 8 9.5 销售点 9 10 销售点 10 销售点 11 销售点 12 销售点 13 0.7 7.8 销售点 14 12 销售点 15 11.6 销售点 16 12.5 销售点 17 2.4 销售点 18 销售点 19 销售点 20 10 销售点 21 5.5 4.8 销售点 22 销售点 23 销售点 24 销售点 25 9.6 销售点 26 10.7 4.3 销售点 27 7.2 销售点 28 8.9 销售点 29 10.3 销售点 30 9
14、 销售点 31 销售点 32 8 销售点 33 11.4 销售点 34 8 4.1 销售点 35 10.7 5.1.4 问题一结果的分析及验证对于表中所有的数据均满足我们对于约束条件的要求，所以在我们的假设成 立的情况下，我们可以认为一定程度上，该数据正确，该分配方案可行。缺点是 可以发现销售点 10,11,12,18 ，19,22,23,24,31没有得到蔬菜供应， 这就是不考 虑短缺补偿所带来的问题。其灵敏度分析见附录。7 5.2 问题二的分析与求解5.2.1 问题二的分析本文旨在针对题目要求， 在满足运费补贴与短缺补贴之和最小的情况下，设 计出合理的分配方案。 我们主要应考虑的有4 个相
15、关因素：每个基地的蔬菜数量， 每个销售点的销售需求， 以及每个基地到每个销售点之间的距离，以及不同销售 点短缺时每短缺一吨蔬菜可获得短缺补贴。在四个相关因素的影响下还存在着两个约束条件，所有销售点从第iA 基地获得的蔬菜数量应该等于该基地所生产的蔬菜数量，以及所有蔬菜生产基地给jB 销售点提供的蔬菜数量要大于等于该点需求量的 70% ，并且应该小于或等于该点的需求量。根据这个目标，四个相关因素 和两个约束条件，我们需要使用LINGO进行线性规划。5.2.2 问题二模型的建立由题目要求，我们可知本题最终要求的是最小总支出费用，而从基地i运送到j销售点的运费补贴为ijijs Cx，短缺补贴则为35
16、811()*)jijj jibxd，从而我们可以得到第二问的目标函数为：8353581111min ()*)ijijjijj ijjisCxbxd（4）显然，我们可以知道从每个基地运出去的运输总量应该是等于各自的供应量。如果小于 供应量，那就还会给另外需要补偿的销售点运输。由此，我们得到：351iji jxa（5）另外，每个销售点收到的蔬菜量应该小于等于其需求量，且大于等于其需求量的70%， 所以有：81(0.7*)jiji ibxb（6）综合（ 4） （5） （6）式我们可以得到最终模型为：8353581111min ()*)ijijjijj ijjisCxbxd351 81,1,2,.,8.(0.7*),1,2,.,350iji jjiji iijxa istbxbjx8 5.2.3 问题二模型的求解根据 5.2.2 得到的模型，我们运用lingo软件进行求解（程序及输出结果 见附录） ，我们得到并整理分配方案如下表： （无数字代表 0） 最优解为 52035.1元。基地 1 基地 2 基地 3 基地 4 基地 5 基地 6 基地 7 基地
