教育部课题圆的一般方程

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1、 教育部重点课题新教育子课题在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践温州市瓯海区三溪中学 张明4.1.24.1.2圆的一般方程圆的一般方程一、我们知道，在笛卡尔之前，几何和代数是老死不相往来，各自分开 。是笛卡尔让几何代数联系在一起。也就是通过直角坐标系。笛卡儿向世人 证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几 何性质。其实笛卡尔曾经有个伟大构想，那就是：把一切问题归结为数学问题， 把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关 于一个未知数的方程。只要把这个方程解出来，就解决了任何问题。我们知 道按当代科技这个构想是不能实现的。比如化学、生物学科。就

2、算是数学也 不能都归结为方程问题。把几何问题归结成代数问题这是个很新鲜的想法。比如点有个坐标，但直线由点组成，所以直线是否有代数形式，这很新 鲜的。我们知道在几何中两直线由相交、平行，那反应在代数上会是怎么回 事，也是很新鲜的。在几何中有圆，那圆的代数形式是怎样的，在几何中直 线与圆有好几种关系，这几种关系如果从代数角度讲会有新鲜的结论吗？这节课我们讲直线的代数形式，那就是直线的方程。这是很新鲜的东西 ，在笛卡尔之前是没有的。解析几何是17世纪最伟大的数学成果之一，它的产生有着深 刻的原因首先，生产力的发展对数学提出了新的要求，常量数学的 局限性越来越明显了例如，航海业的发展，向数学提出了如何

3、 精确测定经纬度的问题；造船业则要求描绘船体各部位的曲线，计算不同形状船体的面积和体积；显微镜与望远镜的发明， 提出了研究透镜镜面形状的问题；随着火器的发展，抛射体运动 的性质显得越来越重要了，它要求正确描述抛射体运动的轨迹， 计算炮弹的射程，特别是开普勒发现行星沿椭圆轨道绕太阳运行，要求用数学方法确定行星位置所有这些问题都难以在常 量数学的范围内解决实践要求人们研究变动的量解析几何便 是在这样的社会背景下产生的总结：在当时以前的几何是定性研究不是定量研究，不是精确的计算。 同学们平面几何或立体几何中有精确的计算吗？没有。其次，解析几何的产生也是数学发展的大势所趋，因为当时 的几何与代数都相当

4、完善了实际上，几何学早就得到比较充分 的发展，几何原本建立起完整的演绎体系，阿波罗尼奥斯的 圆锥曲线论则对各种圆锥曲线的性质作了详尽的研究但几何学仍存在两个弱点，一是缺乏定量研究，二是缺 乏证题的一般方法而当时的代数则是一门 注重定量研究、注重计算的学科到16世纪末 ，韦达(FVieta， 15401603)在代数中有系统地使用字母， 从而使这门学科具有了一般性它在提供广泛的方法论方面，显 然高出希腊人的几何方法于是，从代数中寻求解决几何问题的 一般方法，进行定量研究，便成为数学发展的趋势实际上，韦 达的分析术引论(In artem analyticem isagoge)等著作中的 一些代数问

5、题，便是为解几何题而列出的在初中圆是属于平面几何内容，在笛卡尔之前，几何、代数相 互分离，老死不相往来，笛卡尔后代数、几何结合在一起。那我们 从代数角度研究圆看看，看看有什么不同新鲜的结论或与平面几何 中圆的知识有什么不同的风景。我们看上节课例2、例3求出的圆的标准方程，把它们展开来 看看有什么特点？得到复习回顾 :圆的标准方程？将标准方程展开会得到怎样的式子呢？其中,圆心的坐标是我们能否将以上形式写得更简单一点呢？思 考半径大小是由于a,b,r均为常数结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：是不是任何一个形如 x2 y2DxEyF0 方程表示的曲线是圆呢？探 究1： 判断下列方程分别表示什么图

6、形（1）圆 圆心为（1，-2），半径为3（2）点（1，-2）（3）不表示任何图形（3）x2+y2-2x+4y+6=0（1）x2+y2-2x+4y-4=0（2）x2+y2-2x+4y+5=0这就是为什么称为圆的标 准方程的意思。标准就是： 衡量事物的准则：技术实 践是检验真理的唯一。 本身合于准则，可供同 类事物比较核对的事物：音 时。 指样榜；规范。 方程x2 y2DxEyF0 在什么条件下表示圆？配方可得：（1）当D2+E2-4F0时，表示以（ ）为圆心，以( ) 为半径的圆（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=y= ，表示一个点（ ）（3）当D2+E2-4F0时，方程无实数解，

7、所以不 表示任何图形。x2 y 2DxEyF0圆的一般方程与标准方程的关系：（D2+E2-4F0）（1）a= ，b= ，r= （2）标准方程易于看出圆心与半径2.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r21.圆的一般方程:圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同 【问题 】圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋： （1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和 半径一目了然 （2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构 ，更适合方程理论的运用 圆的一般方程的特点 ： （1） 和 的系数相同，都不为0 （2）没有形如 的二次项 为什么称为标准方程？为什么称为一般方程？答：因为任何圆的标准方程都

8、可以化为这种形式，这是一般 的意思。一般相对于特殊而言。把圆的一般方程转化为标准方程的过程中，同学们要注意是使用 了配方法。考试更多的是考过程不是结果结论不容易记住，记住 结论学习负担也重。(1)若圆心在x轴上,则D,E,F满足什么条件?(2)若圆心在y轴上,则D,E,F满足什么条件?(3)若圆过原点,则D,E,F满足什么条件?CxoyCxoyCxoyD=0E=0F=0例2.方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的 充要条件是什么? A=C0 B=0 D2+E2-4例4 求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2 ）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐 标.解：设所求圆的

9、方程为：几何方法方法一：yxA(1,1)B(4,2)0例4 求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2 ）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐 标.解：设所求圆的一般方程为：因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则F=0 D+E+F+2=04D+2E+F+20=0 所求圆的方程为: x2+y2-8x+6y=0 即（x-4）2+（y+3）2=25待定系数法方法二：F=0 D=-8E=6解得例4 求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2 ）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐 标.因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上（4-a）2+（2-b）2=

10、r2（a）2+（b）2=r2 （1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系数法方法三：所求圆的方程为：即（x-4）2+（y+3）2=25a=4 b=-3r=5解得例3 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）, 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点 M的轨迹方程. yABMxo解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标为（x0,y0） 由于B点坐标为（4，3），M为AB的中点， 所以整理得又因为点A在圆上运动，所以A点坐标满足 方程，又有（x0+1）2+y02=4所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4整理得所以，点的轨迹是

11、以（ ）为圆心，为半径的圆总结：如果A的轨迹是圆则M的轨迹也是缘，如果A的轨迹 是直线则M的轨迹也是直线，如果A的轨迹是抛物线则M的轨迹 也是抛物线。M随着A的运动而运动,M的轨迹由A的轨迹确定， 与A轨迹的类型形同。一种奇怪的数学学习现象根据学校给我们两个班的高考目标，我们班是文科班普通班 是没有本科目标的，但高考试卷150分，难题30分是区别北大、 清华、浙大这样的学校的。120分的容易题、中档题我们上课都 听得懂，但就是高考考试的时候解答不出来，而每门考120分， 那是可以上重点的。我们是高考考重点的题目上课听得懂，但 就是高考时考不出来。学校给我们两个班的高考指标是没有考 本科的，所以同学们要努力考本科。原因：我们是假懂、假会不是真懂、真会，更谈不上要“通” 即融会贯通。例2 已知一曲线是与两个定点 距离的比 为 的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线.由两点间距离公式，上式可用坐标表示为两边平方并化简，得曲线方程为将方程配方，得 所以所求曲线是以 为圆心，半径为 的圆.解 在给定的坐标系中，设 是曲线上的任意一 点，点 在曲线上当且仅当解题第一步 ：找到变化 中的不变性 。问题2:长为2a的线段AB的两个端点分别在相互垂直 的两条直线上滑动，则线段AB的中点轨迹为BAMxyCBAxyO