第四部分：平面向量

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1、1 第四部分：平面向量第一节：平面向量的概念及其线性运算一、知识梳理1、向量的概念及其表示法（1）向量的有关概念名称备注向量零向量单位向量平行向量共线向量相等向量相反向量（2）向量的表示法字母表示法：。几何表示法：。2、向量的线性运算向量运算法则（几何意义）运算规律加法三角形法则平行四边形法则：（ 1）交换律：（ 2）结合律：减法三角形法则：2 数乘（1）|a（2）当0时，a与a的方向；当0时，a与a的方向；当0时，a= 。()a；()a= ；()ab。3、向量(0)a a与向量b共线的充要条件。二、例题分析类型一：向量的有关概念【例 1】给出下列命题：有向线段就是向量，向量就是有向线段；若A

2、BDC，则ABCD为平行四边形；若ab，bc，则ac；若/ /ab，/ /bc，则/ /ac。其中正确的命题的个数为（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 类型二：向量的线性运算【例 2】ABC中，23ADAB，/ /DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N。设ABa，ACb，用, a b表示向量,AE BC DE DN AM AN。练习：如图所示，ABC中，点 M 是 BC 的中点，点N 在边 AC 上，且 AN=2NC ，AM 与BN 相交于点P，求 AP：PM 的值。NE MABCDPMBCAN3 类型三：向量的共线问题【例 3】设两个非零向量a与b不共线。（1）若ABab，

3、28BCab，3()CDab。求证：,A B C三点共线；（2）试确定实数k，使akb与kab共线。三、巩固练习1.设 P 是 ABC 所在平面内的一点，2BCBABP，则（）A.0PAPBB.0PCPAC.0PBPCD.0PAPBPC2. 在ABC中，ABc，ACb若点D满足2BDDC，则AD（）A2133bcB5233cbC2133bcD1233bc3. 设D 、 E、 F分别是ABC的三边BC 、 CA 、 AB上的点，且2,DCBD2,CEEA2,AFFB则ADBECF与BC ( ) A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直4. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点

4、OE，是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F若ACa，BDb，则AF（）A1142abB2133abC1124abD1233ab5. 已知O，A，B是平面上的三个点， 直线AB上有一点C， 满足20ACCB， 则OC（）A2OAOBB2OAOBC2133OAOBD1233OAOB6. 平面向量a，b共线的充要条件是（）A. a，b方向相同B. a，b两向量中至少有一个为零向量4 C. R，baD. 存在不全为零的实数1，2，120ab15如图， 在ABC中，点O是BC的中点， 过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点MN，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为第二节：平面向量的基本定

5、理及坐标运算一、知识梳理1、两个向量的夹角（1）定义：已知两个的向量a和b，作OA=a，OBb，则AOB叫做向量a和b的夹角。（2）范围：向量夹角的范围是，a和b同向时， 夹角，a和b反向时。（3）向量垂直：如果向量a和b的夹角是，则a和b垂直，记作：。2、平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理定理：如果12,e e是同一个平面内的两个的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数12,使a= 。其中叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底。（2）平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把这个向量正交分解。（3）平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相

6、同的两个单位向量,ij作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数,x y使ax iy j，把有序实数对叫做向量a的坐标，记作a= ，其中叫做a在x轴上的坐标，叫做aBAONCM5 在y上的坐标。设OAx iy j，则就是终点A的坐标，即若( , )OAx y，则点A的坐标为，反之亦成立。3、平面向量的坐标表示（1）加法、减法、数乘运算向量aba+baba坐标11(,)xy22(,)xy（2）向量坐标的求法已知11(,)A x y，22(,)B xy，则AB=2121(,)xxyy，即一个向量的坐标等于该向量。（3）平面向量共线的坐标表示设11(,)a xy、22(,)b xy， 其中0

7、b， 则a与b共线。4、平面向量的定比分点公式及其坐标表示（1）平面向量的定比分点：如图，在ABC中，点P在直线BC上（点P与点C不重合） ，且满足BPPC，则用向量,AB AC表示AP为：AP= （2）其中的范围与点P的位置关系为：的范围0101P的位置图形描述ABCP6 （3）坐标表示：已知点11(,)A x y，22(,)B xy，若点( , )P x y满足APPB，则点P的坐标满足：x；y，二、例题分析类型一：平面向量基本定理及其应用【例1】如图，在平行四边形ABCD中，,M N分别是,DC BC的中点，已知AMc，ANd，试用,c d表示,AB AD。类型二：平面向量的坐标运算【例

8、 2】已知( 2,4),(3, 1),( 3, 4)ABC，设,ABa BCb CAc，且3 ,CMc2CNb。（1）求：33abc；（2）求满足ambnc的实数,m n；（3）求,M N的坐标及向量MN的坐标。NMCABD7 类型三：平面向量共线的坐标表示【例3】已知(1,2),( 3,2)ab，当k为何值时，kab与3ab平行；平行时它们是同向还是反向？练习：平面内给定三个向量(3,2),( 1,2),(4,1)abc。回答下列问题。（1）若() /(2)akcba，求实数k；（2）设( , )dx y，满足() / /()dcab且1dc，求d。类型四：向量与其他知识的综合【例 4】已知

9、向量( , )ux y与向量( ,2)vyyx的对应关系用( )vf u表示。（1）设(1 ,1),(1,0)ab，求向量( )f a与( )f b的坐标；（2）求( )( , )f cp q（,p q为常数）的向量c；（3）证明：对任意的向量,a b及常数,m n，恒有()( )( )f manbmf anf b成立。8 三、巩固练习1、已知向量(1,0),(0,1),(),abckab kRdab，如果/cd，那么（）A1k且c与d同向B1k且c与d反向C1k且c与d同向D1k且c与d反向2已知平面向量(11)(11)，ab，则向量1322ab（）( 21)，( 21)，( 10)，( 1

10、 2)，3、已知向量(1,1),(2,),xab若a + b与4b2a平行，则实数x的值是（）A-2 B0 C 1 D2 4、 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线， 若(2,4)AB，(1,3)AC,则BD（）A （ 2， 4）B （ 3， 5）C （3，5）D （2，4）7、已知四边形ABCD的三个顶点(0 2)A，( 12)B，(31)C，且2BCAD，则顶点D的坐标为（）A722，B122，C(3 2)，D(13)，6、 在ABC中，已知D是AB边上一点，若123ADDB CDCACB， 则（）A23B13C13D238、 已知|(1,0)(0,1),|(1,1)( 1,1),

11、Pa ammRQb bnnR是两个向量集合，则PQI（）A 1，1 B. -1， 1 C. 1，0 D. 0，1 9、在平行四边形ABCD 中， E和 F 分别是边CD和 BC的中点，或ACAEAF，其中,R，则= _ 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10、已知向量(3,1)a，(1,3)b，( ,7)ck，若()acb，则k= 11、如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ADxAByAC，则x；y9 第三节：平面向量的数量积及平面向量应用举例一、知识梳理1、平面向量的数量积定义坐标表示运算律内积的几何意义2、与平面向量数量积有关的结论已知1122(,),(,)axybxy结论

12、几何表示坐标表示模夹角ab的充要条件a b与a b的关系二、例题分析类型一：平面向量的数量积的运算及向量的模问题【例 1】已知3,4ab，a与b的夹角为34。求： （1）(32 )(2 )ab ab； （2）ab。10 类型二：平面向量的垂直问题【例 2】已知向量(cos(),sin(),(cos(),sin() 22ab。（1）求证：ab；（2）若存在不等于0 的实数k和t，使2(3) ,xatb ykatb，满足xy，试求此时2ktt的最小值。类型三：平面向量的夹角问题【例 3】已知,a b都是非零向量， 且3ab与75ab垂直，4ab与72ab垂直， 求a与b的夹角。练习：已知111,(

13、) ()22aa babab，求（1）a与b的夹角；（2）ab与ab的夹角的余弦值。11 类型四：向量的综合应用【例 4】设ABC的外心为O，则圆O为ABC的外接圆，垂心为H。求证：OHOAOBOC。三、巩固练习1、 已知向量(1,2)a，(2,3)b 若向量c满足() / /cab，()cab， 则c（）A7 7(,)9 3B77(,)39C7 7(,)3 9D77(,)932、已知3,2 ,1,0ab，向量ab与2ab垂直， 则实数的值为（）（ A）17（B）17（C）16（D）163、 已知向量2,1 ,10,| 5 2aa bab， 则|b（）A. 5B. 10C.5D. 254、 在

14、ABC中,M 是 BC 的中点，AM=1, 点 P在 AM 上且满足学2PAPM,则科网()PAPBPC等于（）（A）49（B）43（C）43(D) 495、平面向量a 与 b 的夹角为060，(2,0)a，1b则2ab( ) （A）3(B) 2 3(C) 4 (D)126、已知O，N，P 在ABC所在平面内，且,0OAOBOCNANBNC，且PA PBPBPCPCPA，则点 O，N，P 依次是ABC的（）（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心7、设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，HFEDOABC12 ac，a=c ,

15、则b?c的值一定等于（）A以a，b为邻边的平行四边形的面积B. 以b，c为两边的三角形面积Ca，b为两边的三角形面积D. 以b，c为邻边的平行四边形的面积8、 已知1,6,()2aba ba， 则向量a与向量b的夹角是（）A6B4C3D29、给定两个长度为1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o. 如图所示，点C 在以 O 为圆心的圆弧AB上变动 . 若,OCxOAyOB其中,x yR,则xy的最大值是 _. 第四节：平面向量的分类综合应用练习类型一：平面向量自身的综合1、平面向量a，b共线的充要条件是（）Aa，b方向相同Ba，b两向量中至少有一个为零向量CR?，baD存在不全为零的实数1，2，12ab02、给出关于平面向量的四个命题: a是非零向量 ,且caba,则. cb.bababa,是非零向量 ,且ba,则.bababa,是任意两个不共线的非零向量,存在实数21,使, 021ba则. 02 22 1以上命题只有两个是正确的,它们是( ) 3、已知平面向量(13)a，(42)b，ab与a垂直，则（）A1B1C2D24、已知平面向量(11)(11)ab，则向量1322ab（）13 ( 21)，( 21)，( 10)，( 1 2)，5、若向量a,b满足a=1b,