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1、第五章 随机时间序列分析模型一、时间序列模型的基本概念及其适用性二、随机时间序列模型的平稳性条件三、随机时间序列模型的识别四、随机时间序列模型的估计五、随机时间序列模型的检验 经典计量经济学模型与时间序列模型 确定性时间序列模型与随机性时间序列 模型一、时间序列模型的基本概念及其适用性（一）时间序列模型的基本概念随机时间序列模型（time series modeling）是指仅用它的 过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为Xt=F(Xt-1, Xt-2, , t)建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题：(1)模型的具体形式(2)时序变量的滞后期(3)随机扰动项的结构例如，取线性方
2、程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（ t =t），模型将是一个1阶自回归过程AR(1)：Xt=Xt-1+ t 这里， t特指一白噪声。 一般的p阶自回归过程AR(p)是Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t (*)(1)如果随机扰动项是一个白噪声(t=t)，则称(*) 式为一纯AR(p)过程（pure AR(p) process），记为Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t(2)如果t不是一个白噪声，通常认为它是一个q 阶的移动平均（moving average）过程MA(q)：t=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q该式给出了一个纯MA(q)过
3、程（pure MA(p) process）。 将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动 平均（autoregressive moving average）过程ARMA（p,q）： Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q该式表明：（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过 程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随 机扰动项来解释。（2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间 的推移而变化，那么就可以通过该序列过去的行为来预 测未来。这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。经典回归模型的问题：
4、迄今为止，对一个时间序列Xt的变动进行解释或预测，是 通过某个单方程回归模型或联立方程回归模型进行的，由于 它们以因果关系为基础，且具有一定的模型结构，因此也常 称为结构式模型（structural model）。然而，如果Xt波动的主要原因可能是我们无法解释的因素 ，如气候、消费者偏好的变化等，则利用结构式模型来解释 Xt的变动就比较困难或不可能，因为要取得相应的量化数据 ，并建立令人满意的回归模型是很困难的。有时，即使能估计出一个较为满意的因果关系回归方程， 但由于对某些解释变量未来值的预测本身就非常困难，甚至 比预测被解释变量的未来值更困难，这时因果关系的回归模 型及其预测技术就不适用了
5、。（二）时间序列分析模型的适用性例如，时间序列过去是否有明显的增长趋势，如果增长 趋势在过去的行为中占主导地位，能否认为它也会在未来的行 为里占主导地位呢？或者时间序列显示出循环周期性行为，我们能否利用过去 的这种行为来外推它的未来走向？随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去的变化 特征来预测未来的变化趋势。使用时间序列分析模型的另一个原因在于：如果经济理论正确地阐释了现实经济结构，则这一结 构可以写成类似于ARMA(p,q)式的时间序列分析模型的 形式。在这些情况下，采用另一条预测途径：通过时间序列 的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而对时 间序列未来行为进行推断。例如，对于如下
6、最简单的宏观经济模型：这里，Ct、It、Yt分别表示消费、投资与国民收 入。Ct与Yt作为内生变量，它们的运动是由作为外 生变量的投资It的运动及随机扰动项t的变化决定 的。上述模型可作变形如下： 两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分 可看成一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于 投资项It的行为。 如果It是一个白噪声，则消费序列Ct就成为 一个1阶自回归过程AR(1)，而收入序列Yt就成为 一个(1,1)阶的自回归移动平均过程ARMA(1,1)。二、随机时间序列模型的平稳性条件自回归移动平均模型（ARMA）是随机时间序列分析模 型的普遍形式，自回归模型（AR）和移动平均模型（MA） 是它的
7、特殊情况。关于这几类模型的研究，是时间序列分析的重点内容： 主要包括模型的平稳性分析、模型的识别和模型的估计。（一）AR(p)模型的平稳性条件随机时间序列模型的平稳性，可通过它所生成的随机时间 序列的平稳性来判断。如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的， 就说该AR(p)模型是平稳的，否则，就说该AR(p)模型是非平稳的。考虑p阶自回归模型AR(p)Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (*) 引入滞后算子（lag operator ）L：LXt=Xt-1, L2Xt=Xt-2, , LpXt=Xt-p(*)式变换为(1-1L- 2L2-pLp)Xt=t 记
8、(L)= (1-1L- 2L2-pLp),则称多项式方程(z)= (1-1z- 2z2-pzp)=0为AR(p)的特征方程(characteristic equation)。可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外 （根的模大于1），则AR(p)模型是平稳的。 例5.1 AR(1)模型的平稳性条件。对1阶自回归模型AR(1)方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差由于Xt仅与t相关，因此，E(Xt-1t)=0。如果该模型稳 定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可变换为：在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有 |1，有于是| z2 |1。由 2 - 1 p，Xt与Xt-k间的
9、偏自相关系数为零。AR(p)的一个主要特征是:kp时，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即k*在p以后是截尾的。一随机时间序列的识别原则：若Xt的偏自相关函数在p以后截尾，即kp时，k*=0，而 它的自相关函数k是拖尾的，则此序列是自回归AR(p)序 列。在实际识别时，由于样本偏自相关函数rk*是总 体偏自相关函数k*的一个估计，由于样本的随机 性，当kp时，rk*不会全为0，而是在0的上下波动 。但可以证明，当kp时，rk*服从如下渐近正态分 布:rk*N(0,1/n) 式中n表示样本容量。因此，如果计算的rk*满足需指出的是，我们就有95.5%的把握判断原时间序列在p之后截尾 。对MA
10、(1)过程 （二）MA(q)过程 可容易地写出它的自协方差系数： 于是，MA(1)过程的自相关函数为：可见，当k1时，k0，即Xt与Xt-k不相关，MA(1)自 相关函数是截尾的。 MA(1)过程可以等价地写成t关于无穷序列Xt，Xt-1， 的线性组合的形式：或（* ）(*)是一个AR()过程，它的偏自相关函数非截尾但却 趋于零，因此MA(1)的偏自相关函数是非截尾但却趋于零 的。 注意:(*)式只有当|q时， Xt与Xt-k不相关，即存在截尾现象， 因此，当kq时， k=0是MA(q)的一个特征。于是：可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为0 来判断MA(q)模型的阶。与MA(1)相仿，可
11、以验证MA(q)过程的偏自相关函数是 非截尾但趋于零的。MA(q)模型的识别规则：若随机序列的自相关函数截尾 ，即自q以后，k=0（ kq）；而它的偏自相关函数是拖尾 的，则此序列是滑动平均MA(q)序列。同样需要注意的是：在实际识别时，由于样本自相关 函数rk是总体自相关函数k的一个估计，由于样本的随机性 ，当kq时，rk不会全为0，而是在0的上下波动。但可以证 明，当kq时，rk服从如下渐近正态分布:rkN(0,1/n) 式中n表示样本容量。因此，如果计算的rk满足：我们就有95.5%的把握判断原时间序列在q之后截尾。ARMA(p,q)的自相关函数，可以看作MA(q)的自相关函数 和AR(
12、p)的自相关函数的混合物。当p=0时，它具有截尾性质；当q=0时，它具有拖尾性质；当p、q都不为0时，它具有拖尾性质从识别上看，通常：ARMA(p，q)过程的偏自相关函数（PACF）可能在p阶滞 后前有几项明显的尖柱（spikes），但从p阶滞后项开始逐渐 趋向于零；而它的自相关函数（ACF）则是在q阶滞后前有几项明显的尖柱，从q阶滞后项开始逐渐趋向于零。 （三）ARMA(p, q)过程 表5.1 ARMA(p,q)模型的ACF与PACF理论模式 模型 ACF PACF 白噪声 0=kr0*=krAR(p) 衰减趋于零（几何型或振荡型） P阶后截尾：0*=kr，kp MA(q) q阶后截尾：，
13、0=kr，kq 衰减趋于零（几何型或振荡型） ARMA(p,q) q阶后衰减趋于零（几何型或振荡型） p阶后衰减趋于零（几何型或振荡型） 图4.2 ARMA(p,q)模型的ACF与PACF理论模式ACF PACF模型1： tttXXe+=-17 . 00.00.20.40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF1四、随机时间序列模型的估计AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估计方法较多，大 体上分为3类：（1）最小二乘估计；（2）矩估计；（3）利用自相关函数的直接估计。下面有选择地加以介绍。结构 阶数模型 识别确定估计参数（一）AR(
14、p)模型的Yule Walker方程估计在AR(p)模型的识别中，曾得到 利用k=-k，得到如下方程组： 此方程组被称为Yule Walker方程组。该方程组建 立了AR(p)模型的模型参数1,2,p与自相关函数 1,2,p的关系， 利用实际时间序列提供的信息，首先求得自相关函数的 估计值然后利用Yule Walker方程组，求解模型参数的估计 值由于 于是 从而可得2的估计值 在具体计算时 ，可用样本自相关函数rk替代。（二）MA(q)模型的矩估计将MA(q)模型的自协方差函数中的各个量用估计量代 替，得到： 首先求得自协方差函数的估计值，(*)是一个包含 (q+1)个待估参数 (*)的非线
15、性方程组，可以用直接法或迭代法求解。 常用的迭代方法有线性迭代法和Newton-Raphsan 迭代法。1.MA(1)模型的直接算法对于MA(1)模型，（*）式相应地写成于是 或有于是有解 由于参数估计有两组解，可根据可逆性条件|1|1的MA(q)模型，一般用迭代算法估计参数：由（*）式得 第一步，给出的一组初值，比如代入（*）式，计算出第一次迭代值 （*）第二步，将第一次迭代值代入（*）式，计 算出第二次迭代值 按此反复迭代下去，直到第m步的迭代值与 第m-1步的迭代值相差不大时（满足一定的精度 ），便停止迭代，并用第m步的迭代结果作为（ *）的近似解。 （三）ARMA(p,q)模型的矩估计在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)个待估参数1,2,p与 1,2,q以及2，其估计量计算步骤及公式如下：第一步，估计1,2,p 是总体自相关函数的估计值，可用样本自相关函 数rk代替。 第二步，改写模型，求1,2,q以及2的估计值 将模型 改写为： 令 于是(*)可以写成： (*)构成一个MA模型。按照估计MA模型参数的方法，可 以得到1,2,q以及2的估计值。 （四）AR(p)的最小二乘估计假设模型AR(p)的参数估计值已经得到，即有 残差的平方和为： (*)根据最小二乘原理，所要求的参数估
