《微分中值定理及其应用(20170921185628)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分中值定理及其应用(20170921185628)（76页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章微分中值定理及其应用1 拉格朗日定理和函数的单调性一罗尔定理与拉格朗日定理二函数单调性2 柯西中值定理和不等式极限一柯西中值定理二不定式极限3 泰勒公式4 函数的极值与最大（小）值一极值判别二最大值与最小值5 函数的凸凹型与拐点6 函数图像的讨论7 方程近似解 1 拉格朗日定理和函数的单调性教学目标：1使学生深刻理解拉格朗日中值定理及其分析意义与几何意义。掌握它的证明方法，了解它在微分中值定理中的地位。2通过知识学习，使学生初步具有应用中值定理进行分析论证的能力，能用以证明某些有关的命题，特别是掌握通过构造辅助函数解决问题的办法。3使学生学会应用拉格朗日中值定理研究函数在某区间上的某些整
2、体性质，如单调性，有界性等。4使学生掌握拉格朗日中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础。12xyo)(xfyC一罗尔定理与拉格朗日定理数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具之一就是微分中值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。一极值概念：1 回忆极值的概念和可微极值点的必要条件: 定理 ( Fermat ) 设函数f在点0x的某邻域内有定义，且在点0x可导，若点0x为f的极值点，则必有0)(0xf1、 罗尔中值定理：若函数f满足如下条件：（i ）f在闭区间 a ，b 上连续；（ii ）f在开区间（ a，b）内可导；（iii）)()(bf
3、af，则在（ a，b）内至少存在一点，使得f（）=0 （分析）由条件（i ）知f在a ，b 上有最大值和最小值，再由条件（ii ）及（ iii），应用费马定理便可得到结论。证明：因为f在 a,b 上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与 m表示，现分两种情况讨论：(i) 若 M = m , 则f在 a,b上必为常数，从而结论显然成立。(ii)若 m M，则因f(a)=f(b) ，使得最大值M与最小值 m至少有一个在 (a,b) 内某点处取得，从而 是f的极值点，由条件(ii) f在点处可导，故由费马定理推知)(f=0. 注 1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端
4、点高度相等，则至少存在一条水平切线。注 2：习惯上把结论中的称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立，见下图：例如：2x1,11x2,01|x|,xF(x)xx1=-2:-0.09; x2=-1; x3=-0.99:0.01:1; x4=1:2; x=x1,x2,x3,x4;y1=0*x1;y2=NaN;y3=x3.x3;y4=ones(size(x4); y=y1,y2,y3,y4; plot(x,y,r) axis(-2,2,-1.2,1.3) 易见， F 在 x=-1 不连续，在x=1 不可导， F(-2) F（2）, 即罗尔定理的三个
5、条件均不成立，但是在（ -2 ，2）内存在点, 满足0)(F注 3：罗尔定理结论中的值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：-2-1.5-1-0.500.511.52-1-0.500.51-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2-1-0.500.511.52x 10-30x0,0x,sinx f(x)x142x=-0.2:0.005:0.2; y=(x.4).*(sin(1./x).2); plot(x,y,r) axis(-0.2,0.2,-0.001,0.002) 在 -1，1 上满足罗尔定理的条件，显然0x0,cossin2xsin4x (x)fx1
6、x1 x1232在（ -1，1）内存在无限多个nc=)( 21znn使得)(ncf=0。b12xxoy)(xfyAB2、拉格朗日（ Lagrange ）中值定理：若函数? 满足如下条件：（i ）? 在闭区间 ba, 上连续；（ii ）? 在开区间 (ba,) 内可导；则在（ a，b）内至少存在一点，使得abafbff)()()(（分析）罗尔定理是拉格朗日中值定理：?（a）=? (b) 时的特殊情况，应用罗尔定理证明此定理要构造辅助函数)(xF，使得)(xF满足罗尔定理的条件（i ）-(iii) 且 abafbfxfxF)()()()(，从而推得ba,xa),(xabf(a)f(b)f(a)f(
7、x)F(x)证明：作辅助函数a)(x abf(a)f(b)f(a)f(x)F(x)显然， F（a）=F(b) （=0），且 F 在a ，b 上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点(a ，b) ，使得0)()()()(abafbffF即 abafbff)()()(注 1罗尔定理是拉格朗日中值定理)()(bfaf时的特例注 2几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线)(xfy上至少存在一点)(,(fP，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ，我们在证明中引入的辅助函数)(xF，正是曲线)(xfy与直线 AB )()()()(axabafbfafy之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标
8、系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段 AB平行于新 轴（ F（a）=F（b）。注 3此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。注 4拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：),(),)()()(baabfafbf)1 ,0(),)()()(ababafafbf)1 ,0(,)()()(hhafafhaf注 5拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：f在（a,b ）可导可以推
9、出?在（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数)(xf在（ a，b）可导且)(xf在 a 右连续在 b 左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。中值定理的简单应用: ( 讲 1 时 ) 3、拉格朗日中值定理的几个重要推论推论 1 函数)(xf在区间 I 上可导且)(, 0)(xfxf为 I 上的常值函数 . 证明：任取两点Ixx21,（设21xx），在区间 21,xx 上应用拉格朗日中值定理，存在（21,xx）I ，使得0)()()(1212xxfxfxf推论 2 函数)(xf和)(xg在区间 I 上可导且,)()(),()(c
10、xgxfxgxf. Ix推论 3（导数极限定理）设函数f在点0x的某邻域 U（0x）内连续，在U （0x）内可导，且极限)(lim0xf xx存在，则f在点0x可导，且)(lim)(00xfxf xx证明：分别按左右导数来证明上式成立（1）任取)(00xux，)(xf在xxo, 上满足拉格朗日中值定理条件，则存在),(xxo，使得)()()(00fxxxfxf由于0xx，因此当0xx时随之有 0x，对上式两边取极限，使得)0()(lim)()(lim)(0 00000xffxxxfxfxf xxxx（2）同理可得)0()(00xfxf因为0lim xx)(xf=k存在，所以)0(0xf=)0(
11、0xf=k，从而kxfxf)()(00即kxf)(0注 1由推论 3 可知：在区间I 上的导函数)(xf在 I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。注 2导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。推论 4 ( 导函数的介值性 ) 若函数f在闭区间,ba上可导 , 且,0)()(bfaf.0)(),(fba ( 证 ) 一可微函数单调性判别法：1单调性判法：Th 1 设函数)(xf在区间),(ba内可导 . 则在),(ba内)(xf( 或) 在),(ba内0)(xf ( 或0 ). 证明：必要性0)(0)()(0 00xfxxxfxf充分性fxxfxfxf0)()
12、()(1212在 I 上递增。例设xxxf3)(讨论它的单调区间。解)13)(13(13)(2xxxxfx=-1:0.01:1; y=x.3-x; g=3*x.2-1; plot(x,y,r,x,g,b) axis(-1,1,-1,0.6) -1-0.8-0.6- 0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6)(,0)(,) 31,(xfxfx, )(,0)(,) 31, 31xfxfx)(,0)(,), 31xfxfx例 2 求函数31292)(23xxxxf的单调区间。f=2*x3-9*x2+12*x-3; dfdx=diff(f,x)
13、 dfdx = 6*x2-18*x+12s=6*x2-18*x+12，x0=solve(s) -1012345-40-20020406080100f(x)s =6*x2-18*x+12 x0 = 1, 2 clf, x=-1:1/20:5;y=2*x.3-9*x.2+12*x-3; plot(x,y) Th 2 设函数)(xf在区间),(ba内可导 . 则在),(ba内)(xf严格 ( 或严格 ) ）对),(bax有0)(xf ( 或)0; ）在),(ba内任子区间上.0)(xf1 2 0f0f0f例证明不等式xex1证明：设1)(1)(xxexfxexf0x时0)(xf0)0()(0fxfx
14、时2 柯西中值定理和不等式极限一柯西中值定理定理(6.5) 设)(xf、)(xg满足(i) 在区间,ba上连续，(ii) 在),(ba内可导(iii) )(,)(xgxf不同时为零 ; (iv) )()(agbg则至少存在一点),(ba使得P )()()()()()(gfagbgafbf柯西中值定理的几何意义若连续曲线由参数方程, )()( bax xgYxfX给出，除端点外处处有不垂直于轴的切线，则上存在一点 P 处的切线平行于割线. 。注意曲线 AB 在点),(YX处的切线的斜率为，)(1F)(2F)( aFA)(bFB)( xFNMxoy )()(xfYxFX而弦的斜率为. 受此启发，可
15、以得出柯西中值定理的证明如下：由于，类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数容易验证满足罗尔定理的条件且根据罗尔定理，至少有一点使得即由此得注 2：在柯西中值定理中，取，则公式（ 3）可写成这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令，则. 这恰恰是 罗尔定理 . 注 3: 设在区间I上连续，则在区间I上为常数，. 三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性1、利用其几何意义要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。可以用这种几何解释进行思考解题：例 1：设)(xf在 （a ，b） 可导，且)( xf在 a ，b 上严格递增，若)()(bfaf，则对一切),(bax有)()()(bfafxf。证明：记 A（)(,afa），)(,(bfbB，对任意的x),(ba，记 C（)(,xfx），作弦线AB ，BC ，应用拉格朗日中值定理，),(),(bxxa使得)(),(ff分别等于 AC ，BC弦的斜率，但因f严格递增，所以)(f)(f，从而axafxf)()( xbxfbf)()(注意到)()(bfaf，移项即得)(xf)()(bfaf，),(bax2、利用其有限增量公式要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式),(),)()()(baabfafbf进行思考解题：例 2：设)(xf上连续，在（ a，b）内
