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1、1. 一幅 8 灰度级图像具有如下所示的直方图，求直方图均衡后的灰度级和对应概率，并画出均衡后的直方图的示意图。 （图中的 8 个不同灰度级对应的归一化直方图为0.17 0.25 0.21 0.16 0.07 0.08 0.04 0.02） 解： 由s= () =0，可以求得原图像直方图的累进概率为： *+ = *0.17,0.42,0.63,0.79,0.86,0.94,0.98,1+ 其量化结果即： *s+ = 17,3 7,4 7,6 7,6 7,1,1,1 对相应的原灰度级进行映射，即 *k+ = *1,3,4,6,7+ 相应地有: *s+ = *0.17,0.25,0.21,0.23
2、,0.14+ 因而均衡后的直方图为: 00.050.10.150.20.250.301234567灰度直方图灰度直方图 灰度直方图 2. 由题， () = 2 + 2 () = 2 由 PDF 灰度变换的关系 () = ()0= = ()0= () 可得 () = 2+ 2 () = 2 = 2+ 2 要求 z 应当是非负的,因而 = 2+ 2 3. 请计算如下两个向量与矩阵的卷积计算结果。 1) 1 2 3 4 5 4 3 2 1 * 2 0 -2=2,4,4,4,4,0,-4,-4,-4,-4,-2 2) 101 202 101 13204 10323 04105 23214 31042=
3、1313204 36444211 37636415 3114810317 7112510615 8564698 31332424. 高斯型低通滤波器在频域中的传递函数是 H(u,v) = Ae(u2+v2) 22根据二维傅里叶性质，证明空间域的相应滤波器形式为 h(x,y) = A22e222(x2+y2) （这些闭合形式只适用于连续变量情况。 ） 在证明中假设已经知道如下结论：函数e(x2+y2)的傅立叶变换为e(u2+v2) 证明： 对于一组傅里叶变换对，两函数作为彼此的傅里叶正变换和反变换结果是唯一可逆的，所以证明(,) = ,(,)-即可。 ,(,)-=A22222(2+2)2(+)=
4、A222222222222 A222222 =A22(22+) =A22(+ 2)2 2 22 令 = 2 +2,则 A2(2+2)2 2 22 =A22 2222 考虑(2+2),*(,) |: ,0,-, ,0,2-+ (2+2)= 2 = (1 2) 而 时， (2+2)= ( 2)2= 4;2 =2因而, 22222 =22A22 22= A2 22 ,(,)- =Ae(u2+v2) 22即证 5. 试求(,)(1)+的 DFT 变换。 解由复变函数性质，可以将(1)+展开为: (1)+= (cos)+= (+) 由于 DFT 的旋转项,= 2(1 +1 )具有的系数规范性， ,= 2
5、( + ) 可整理展开式为相似结构，有 ,(,)(1)+- =1,(,)(+)1=01=0-2. + /=1(,)1=01=020 . 2/+ . 2/1= ( 2, 2) 6. 观察如下所示图像。右边的图像这样得到：(a)在原始图像左边乘以(-1)(x+y)；(b) 计算离散傅里叶变换(DFT); (c) 对变换取复共轭; (d) 计算傅里叶反变换; (d) 结果的实部再乘以(-1)(x+y)。(用数学方法解释为什么会产生 右图的效果。) 解：设原始图像为 f(x,y), 由复变函数性质，可以将(1)+展开为: (1)+= (cos)+= (+) 则原图左乘(1)+得到的傅里叶变换为 ,(,
6、)(1)+- = ( 2, 2) ( 2, 2) =1 (,)1=01=0(20 . 2/+ . 2/1) 1( 2, 2) 7. 假设我们有一个0，1上的均匀分布随机数发生器 U(0,1), 请基于它构造指数分布的随机数发生器，推导出 随机数生成方程。若我们有一个标准正态分布的随机数发生器 N(0,1)，请推导出对数正态分布的随机数生成 方程。 1) 已知随机变量(0,1)，设计随机变量()使得 = 1()，则 () = 0, 1, 0 () 0 则 = 1() = 1 ln(1 1 ) 00 1， 所以对(,)进行归一化处理，使 (,y) =(,t)+1(,t) (,t) 显然 Q0 时，
7、胡椒噪声会在高次项中迅速衰减，从而使得 (,) =|+1|(,)+1(,)+1 =0(,)| =0(,)(,)(,)|+1|(,)+1+1 =0(,)| =0(,)(,)= (,) 类似地对于盐噪声，在 Q0 时它的高次项也会迅速衰减而使滤波结果接近(,) 这就是逆谐波滤波器的原理。 10. 已知一个退化系统的退化函数 H(u,v), 以及噪声的均值与方差， 请描述如何利用约束最小二乘方算法计算出 原图像的估计。 频域中原图像的估计由下式给出 F(u,v) =(,) |(,)|2+ |(,)|2(,) 其中 P(u, v)是拉普拉斯算子的傅里叶变换。 定义“残差”向量= ，由于 , 是的函数，
8、则 和都是的函数。令 = 2，则它是 的单调递增函数。 再调整使 2= 2，是一个精确度因子。 已知噪声的均值为，方差2和 H(u,v) ，P(u,v) （1） 设定一个的初始值， （2） 计算 2， （3） （3）若满足 2= 2 a则执行第 4 步，若不满足，则调整大小，然后返回第 2 步。 （4）使用最 新的，计算 F(u,v) =(,) |(,)|2+ |(,)|2(,) （5）再通过傅里叶反变换即可得到估计图像 11. 请根据课本中 Z 变换的定义，证明如下结论。 (1) 若 x(n)的 Z 变换为 X(z)，则(1)nx(n) 的 Z 变换为 X(z) (2) 若 x(n)的 Z
9、变换为 X(z)，x(n) 的 Z 变换为 X(1z) 根据 Z 变换的定义 () = ()= ,(1)()- = (1)()= ()=()= () ,()- = ()= ()=(1) = (1) 12. 若G1(z) = z2K+1G0(z1)成立，请证明 g1(n) = (1)ng0(2K 1 n) G1(z) = z2K+1G0(z1) = (1)21 0()=(1)根据 Z 变换的序列位移性质、指数序列性质以及伸缩性质 z0() = ,( 0)- (a1) = ,a()- ()= ,()- 可以整理得到 ,a( 0)- = .1/0.1/ 因而 (1)21 0()=(1) = (1)n
10、g0( 0) = (1)ng0(2K 1 n) 有 = 1, = 1,0= 2 1，将这些参数代回a( 0) 显然 g1(n) = (1)ng0(2K 1 n) 以上 13. 假设课本中给出完美重建滤波器的正交族对应的三个滤波器间的关系式是正确的， 并以此为基础， 推导01,h h的关系。 既知 1() = (1)0(2 1 )() = (2 1 )则 1() = 1(2 1 ) = (1)210()0() = 0(2 1 )因而 1() = (1)210(2 1 ) 1() = (1)(+1)0(2 1 ) 14. 已知(0) = 1,(1) = 4,(2) = 3,(3) = 0,M = 4,J = 2 由K ,0,2 1-,K Z K = 0,1 取0= 1，则 0
