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1、 教育部重点课题新教育子课题在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践温州市瓯海区三溪中学 张明2.2.1 双曲线及其标准方程2012年2月我们知道历史上是古希腊人最早研究圆锥曲线，公元前262到 公元前192阿波罗尼写出圆锥曲线进行系统的研究。在当时的社会，生活生产实践中有双曲线的存在吗？古希腊人 是如何发现双曲线的？对于圆锥曲线的最早发现，众说纷纭。有人说，古希腊数学家 在求解“立方倍积”问题时，发现了圆锥曲线：设x、y为a和2a的比 例中项，即。a：x=x：y=y：2a，则x2=ay,y2=2ax，xy=2a2，从而 求得x3=2a3。又有人说，古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截时 发现了与
2、“立方倍积”问题中一致的结果。还有认为，古代天文学家 在制作日晷（gui）时发现了圆锥曲线。日晷是一个倾斜放置的圆盘 ，中央垂直于圆盘面立一杆。当太阳光照在日晷上，杆影的移动可 以计时。而在不同纬度的地方，杆顶尖绘成不同的圆锥曲线。然而 ，日晷的发明在古代就已失传。日晷按照日影测定时刻的仪器 。但从近代开始，生活中出现了有双曲线的物体即建筑物。它们 是人类研究了双曲线的性质后根据双曲线的性质建造的。不知道双 曲线的性质，建筑物是造不出来的。在古希腊虽然知道双曲线，但古希腊人不知道知识 就是力量，知识就是生产力。在古希腊知识是有钱人的消 遣,是人本身具有的探索大自然奥秘的好奇心才追求知识 。到了
3、近代，培根（1561-1626），英国文艺复兴时期 最重要的散作家、哲学家。）才提出来知识就是力量。生活中的生活中的双曲线双曲线双曲线型自然通风冷却塔双曲线型自然通风冷却塔生活中的生活中的双曲线双曲线正在建设中金沙江上的 溪落渡水电站:双曲拱坝可口可乐的下半部可口可乐的下半部玉枕的形状玉枕的形状椭圆的定义？探索研究平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数（大于 F1F2）的点轨迹叫做椭圆。思考：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之 差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？ 即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数的 点的轨迹 ”是什么？如图如图(A)(A)，|MF|MF1 1|-|
4、MF|-|MF2 2|=|F|=|F2 2F|=2F|=2a a如图如图(B)(B)，|MF|MF2 2| |- -|MF|MF1 1|=2|=2a a由由可得：可得：| |MF| |MF1 1| |- -|MF|MF2 2| | = 2| | = 2a a（差的绝对值差的绝对值）上面上面 两条曲线两条曲线合起来叫做合起来叫做 双曲线双曲线, ,每一条叫做双曲线每一条叫做双曲线 的一支。的一支。看图分析动点M满足的条件：等于2a或-2a 需要死记硬 背吗？答：根据 图像知道 哪长哪短 。 两个定点F1、F2双曲线的焦点; |F1F2|=2c 焦距.02c,则轨迹是什么？yoF2F1Mx古希腊人
5、只在几何角度对圆锥曲线做出研究，到17世纪，笛卡 尔横空出世，给数学带来新方法那就是用代数角度研究几何。F2F1MxOy 求曲线方程的步骤：二、 双曲线的标准方程1. 建系.以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系2.设点设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)3.列式|MF1| - |MF2|=2a4.化简此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程F2F1MxOyOMF2F1xy思考：若建系时,焦点在y轴上呢?看 前的系数，哪一个为正，则 在哪一个轴上2 2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联
6、系别与联系? ?1 1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？讨论：讨论：定 义方 程焦 点a.b.c的关 系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭 圆双曲线F（0，c）F（0，c）对于椭圆、双曲线到底是a大 b大还是才c大？是啊a2 =b2 +c2 还是c2 =a2 +b2 ?需要死记硬背吗？答：只要一画出椭圆、双曲线的图像从图像上看一目了然。对 于双曲线图像上是看不出来a大还是b大，所以就没有
7、a大还是b大。讨论：当 取何值时，方程 表示椭圆， 双曲线，圆 。解：由各种方程的标准方程知，当 时方程表示的曲线是椭圆当 时方程表示的曲线是圆当 时方程表示的曲线是双曲线三、例题选讲例1 已知两定点 ,动点 满足 ,求动点 的轨迹方程例1 已知两定点 ,动点 满足 ,求动点 的轨迹方程变式训练：已知两定点 ,动点 满 足 ,求动点 的轨迹方程变式训练：已知两定点 ,动点 满 足 ,求动点 的轨迹方程例2 已知方程 表示双曲线，求 的取值范围。分析：由双曲线的标准方程知该双曲线焦点可能在 轴也可能在 轴，故而只要让 的系数异号即可 。例3、已知 两地相距 ，在 地听到 炮弹爆炸声比在 地晚 ，
8、且声速为 ， 求炮弹爆炸点的轨迹.分析：依题意有，爆炸地点距 两地的距离差值为 一个定值，故而可知，爆炸点在以 为焦点的双曲线 上，又在 地听到的晚，所以爆炸点离 较远，应是靠 近 的一支。答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两 处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的 方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点 的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.随堂练习变式变式: : 上述方程表示双曲线，则上述方程表示双曲线，则mm的取值范围是的取值范围是 _m2或m1求适合下列条件的双曲线的标准方程 a=4,b=3，焦点在x轴上；焦点为(0,6),(0,6)，经过点(2,5)已知方
9、程 表示焦点在y轴的双曲线，则实数m的取值范围是_m2我们知道除了根据双曲线的定义这种运动方式产生的轨迹是双 曲线，那还有没有其他的运动方式产生的轨迹是双曲线。这些实验 会受到当时社会生产力即科技水平的限制吗？即不管在古代、近代 、现代、当代都可以实验。例2 设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M，且它们的斜率之积是-4/9,求点M的轨 迹方程。“杂点” 可不要 忘了哟只有在近代 即笛卡尔时 代才可以实 验。如果把 -4/9改为4/9 呢？2.2.2双曲线的简单几何性质P52例5点M(x，y)到定点F(5， 0)的距离和它到定直线l:x=16/5的距离的比是
10、常数5/4，求点M的轨 迹。与2.1.2椭圆的简单几何性质P41例6类比P54习题2.2A组5与P42 习题2.1A组7类比。 这是圆锥曲线的第二定义，在开普勒（15711630）的发现焦 点和离心率下才成为可能。1、设动圆M恒过定点A(-3,0),且与定圆C:（x-3 ）2 + y2 =4外 切,求动圆圆心M的轨迹方程P54 习题2.2B组3。应用：1）已知x轴上的一定点A（1，0），Q为椭圆 上的 动点，求AQ中点M轨迹方程。答案：2）已知定圆C1： ，圆C2： ，动圆M和定圆C1外切和圆C2内切 ，求动圆圆心M的轨迹方程。答案：分析：|MC1|=2+R |MC2|=8 -R|MC1|+|MC2|=10古代可以实验，但用近 代语言表达。从此题看 出为什么那形式称标准 方程。古代还好判断， 近代很难判断。古代可以实 验且古代的 几何法也比 较好判断。
