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1、数 学 如图， 是的直径， 点 、 是直径 两侧圆上的点， 且 ， 连接 ， 过点 作 的延长线于点 （ ） 猜想直线 与的位置关系， 并说明理由；（ ） 若 ， ， 求 的值第 题图 【 思维教练】 （ ） 要求 与的位置关系， 观察题图可知直线 与只有一个交点 ， 故可猜想 与相切， 从而连接 ， 证明 即可， 而 ， 故只需证明 ， 结合已知条件及圆周角定理可得 ， 结论得证； （ ） 要求 的值， 由 题图可知， 与 是同弧所对的圆周角， 进而转化为求 的值， 而 ， 的长已知， 故只需求 的值即可， 的值可通过证明 求得解： （ ） 直线 与相切理由如下： 如解图， 连接 、 ，第
2、题解图 ， ， ， （ ） ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线；（ ） 由（ ） 得 与相切， ，又 ， 为的直径， ， ， ， ， 槡 ， 槡 槡 如图， 在 中， ， ， ， 半圆 的直径 ， 点 与点 重合， 半圆 以 的速度从左向右运动， 在运动过程中， 点 、 始终在 所在的直线上 设运动时间为 （ ） ， 半圆 与 的重叠部分的面积为 （ ） 第 题图（ ） 当 时， 设点 是半圆上一点， 点 是线段 上一 点，则 的 最 大 值 为； 的 最 小 值 为；（ ） 在平移过程中， 当点 与 的中点重合时， 求半圆 与 的重叠部分的面积 ；（ ） 当 为何值时，
3、 半圆 与 的边所在的直线相切？解：（ ） ； （槡 ） ； 【 解法提示】 的最大值， 即等于线段 的长， 即 最大值为 ； 的最小值即过点 作 的垂线， 垂线段的长减去半径长， 如解图所示，在 中， ， ， ， 槡 ， （槡 ） （ ） 当点与 的中点重合时， 点移动了 ，如解图， 设与 交于点 ， 连接 ， 是半圆 的直径， ， ， ， ， ， ， ， 扇形 ；图图图第 题解图 （ ） 当半圆 与直线 相切时， 或 ，如解图， 当半圆 与直线 相切， 则半圆 在直线 左侧且与直线 相切， 过点 作 于点 ， 由题意得 ， ， ， 槡 ， （槡 ） 槡 槡 ，综上， 当 或 或 槡 时，
4、半圆 所在的圆与 的边所在的直线相切 问题情境在综合与实践课上， 老师让同学们以“ 矩形纸片的折叠” 为主题开展数学活动， 如图， 四边形 是一张矩形纸片， 实践操作第一步： 如图， 点 是 边上的一点， 将矩形 沿 折叠， 使点 落在 边上的点 处， 折痕为 ， 将纸片展开， 辅平第二步： 如图， 在图的基础上将矩形纸片沿 折叠， 使点 落在 上的点 处， 将纸片展开， 辅平， 取 的中点 ， 连接 ， 第 题图问题解决 （ ） 试判断 与 的数量关系， 并说 明理由； （ ） 求 的长； （ ） 试判断四边形 的形状， 并加以证明； 探索发现 （ ） 如图， 将图中的 ， 隐去， 点 是
5、线段 上的动点（ 点 不与点 ， 重合） ， 过 点 分别作 于点 ， 于点 ， 请直接写出 与 的数量关系， 不必 证明第 题图解： （ ） ； 理由如下：由折叠可知 ， ， ， ， ， ， ；（ ） 在 中， ， 槡 ， 槡 ，在 中， ，槡 槡 ， ；（ ） 四边形 是菱形证明： 在 和 中， ， ， 点 是 的中点 ， ， ， ， 和 均为等边三角形， ，四边形 是菱形；（ ） 槡 【 解法提示】 如解图， 连接 ，在 和 中， ，第 题解图 ， ， ， ， ， ， 三点在同一直线上， ， ， ，同理得 ， 槡 ， 槡 ， 槡 （ ）槡 ， ， 槡 问题情境数学活动课上， 张老师让同学
6、们把含 角的直角三角板 放在矩形 上， 如图， 点 ， 恰好分别与点 ， 重合， 然后张老师让同学们把 绕点 顺时针旋转， 由此展开数学活动数学思考（ ） 如图， “ 勤奋” 组在活动中发现， 当点 旋转到 的延长线上时， 连接 ， 点 在线段 上， 则点 是线段 的中点 请你帮他们说明理由（ ） “ 善思” 组在“ 勤奋” 组的基础上提出， 此时四边形 是一个特殊的四边形 请你说出四边形 的形状并证明实践探究（ ） 如图， “ 博学” 组把 的边 旋转到 边上， 然后连接 ， 与 交于点 ， 请直接写出 的值， 不必写出求解过程（ ） 如图， 张老师看了“ 博学” 组的图后， 双提出： 连接 ， 若 ， 试求出四边形 的面积 请写出解答过程第 题图解： （ ） 理由： 由旋转的性质可知， ， ，又 ， ， 为等边三角形， ，点 为线段 的中点；（ ） 四边形 为平行四边形， 证明如下：点 在 的延长线上， ，由（ ） 可得， ， ， ， ， ，四边形 为平行四边形；（ ） ；【 解法提示】 设 ， 则 槡 ， ， ， ， ， ， 槡 ，由题可知， 槡 ， ， 槡槡 （槡 ） 槡 槡 （ 槡 ） （槡 ） 槡 ， （ ） （ 槡 ） 槡 ，由勾股定理得， （槡 ）（槡 ） 槡 ， 槡 槡 （槡 ） （槡 ） （ ） 由（ ） 可知， （槡 ） 槡 ， 槡 槡 ， 槡槡
