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1、1固体物理第六章第六章 输运现象在晶格振动中我们得到了在简谐近似下，其集体运 动可以很好地用声子的语言描述。 在能带论中，我们讨论了在理想周期排列的静止离 子实阵列中的电子，电子作为准经典粒子，占据 能带中用布洛赫波函数描述的单电子态。 本章首先介绍金属电子论的内容，然后进一步讨论 在电场和磁场的作用下，金属中的电子和半导体 中电子和空穴的运动引起各种电荷输运现象，这 些现象是研究晶体基本特性和内部机构的重要方 面。主要讨论的是在弱电、磁场下，晶体中的电 荷输运问题。固体物理第六章在理想的完整晶体里的电子，是处在严格的周期 性势场中，用波矢k标志它们的运动状态。电 子在晶体中的运动如同在一个周
2、期性的势场中 运动一样，状态的变化服从以下规律：其中F是外力，当F=0时，dk/dt=0，说明晶体电子 在某时刻处于k态，就将永远保持在这个状态 中，其能量、速度均不会发生变化。因而电子 的速度v(k)也是不变的。这表明电子与离子实 不会发生碰撞。这是量子力学的结果，与经典 的结论是绝然不同的。dkFdt=?固体物理第六章但在实际晶体中存在各种晶格缺陷，晶格原子本 身也在不断地振动，它们都会势晶体中的势场 偏离理想的周期性势场，这相当于在严格的周 期性势场上叠加了附加的势场。这种附加势场 可以使在状态k的载流子有一定的几率跃迁到 其它状态k，也就是说，原来以速度v(k)运动的 载流子，改变为以
3、v(k)运动，这种附加的势场 引起的载流子状态的改变就是载流子散射。 在有外界电场和磁场存在的情况下，在晶体中将 有电流流动，计算电流密度是讨论电荷输运现 象的中心环节，解决这个问题可以有不同的途 径。固体物理第六章从理论上研究载流子输运现象的方法有两类，一类是 经典或半经典的；另一类是量子的。 经典方法中又可分成两种，一种是将载流子在布洛赫 态中的平均速度作为它们的速度，将载流子看作是 具有一定速度v(k)、有效质量m*的准经典粒子，求 解准经典粒子在外场作用下的运动方程。 在外场和散射两种作用下的运动，在相继两次散射之 间的自由时间内，载流子被外场加速，使它们获得 沿着外场作用力方向的附加
4、速度。经过一段时间的 加速运动后，载流子又被散射，这将使它们失去获 得的附加速度，恢复到无规则运动状态。固体物理第六章?eE dtkd=固体物理第六章考虑载流子经历的多次散射，求出平均漂移速度以 后，可以很容易地写出电流密度的表达式。 这个方法的优点是简单明了，缺点是不够精确。 另一种方法是分布函数法，即通过求解玻尔兹曼方 程，这个方程反映了外界电场和磁场以及散射对 分布函数的影响，得到在外场作用下载流子的分 布函数，从而求出所需的输运参数。这种方法比 较繁杂，但是一种比较精确的统计方法。 研究输运现象的量子理论可以考虑各种粒子间的相 互作用，因而是更为精确的方法，但是也更为深 奥复杂。2固体
5、物理第六章6-1 金属电子论金属为什么容易导电？它又为什么是良好的热传 导体？这曾经是物理学家极其关心的课题， 1897年汤姆逊首先发现了金属中电子的存在， 当时分子论在处理理想气体问题上获得了巨大 的成功，特鲁特（Drude）在这些工作基础提 出了关于金属的简单模型，这是能够利用微观 概念计算实验观测量的第一个固体理论模型。 自由电子气的浓度比标准状况下经典理想气体的 浓度大约1000倍，电子之间、电子与金属之间 还存在相互作用，特鲁特把这种高浓度的电子 视为理想气体，用类似气体运动论的方法讨论 金属的电导和热导问题：固体物理第六章1自由电子气在周期性排列的晶格中作无规热运 动，电子气同金属
6、离子相互碰撞达到热平衡。 2在两次碰撞之间，电子不受到力的作用，即略 去电子之间的相互作用（独立电子近似）以及 电子与金属离子之间的相互作用（自由电子近 似)。 3定义驰豫时间，借以概括电子和金属离子的碰 撞特征。代表单位时间内电子与金属离子的碰 撞几率。 电子理想气体的速度分布遵从波尔兹曼分布，模 型解释了欧姆定律，维得曼一弗兰兹定律。但 是他的模型不能解释电子平均自电程过小，比 热低温区与实验不符合，另外在处理磁化率也 遇到问题。固体物理第六章1928年索末菲首先将费米狄拉克统计用于电子 气体，发展了量子的金属自由电子气体模 型，克服了经典模型明显的不足，成功地解 决了电子气的热容量问题，
7、以及特鲁特模型 所遇到的困难。2 ( ) ( )( )2V rrrm+=?其中V(r)为电子在金属中的势能，为电子的本 征能量。忽略电子-离子实的相互作用，在凝 胶图像下V(r)为常数势，可简单地取为零。1( )ik r kreV=固体物理第六章金属中的自由电子一、导带电子状态 晶体中的电子波函数为b1och波)()(ruerkrk i k? =在自由电子近似下：rk i keVr?=1)(mkkE2)(22?=在自由电子近似下，电子在状态空间的等能 面为球面，我们先来求自由电子气的态密度 分布，波矢小于k的状态数正比于半径为k的 球体积。固体物理第六章固体物理第六章二、泡利不相容原理(Pau
8、li exclusion principle)和费 米分布函数(Feimi-Dirac distribution function) （1）泡利原理 由泡利原理，不允许两个电子占据同一电子态，由 开始依次填充上面的能级，直到最后一个电子填 充到状态为止，最高能量状态：2323)2(34 34 ?mEk=2323)2(34 )2(2)(?mEVEQ =212123213223 )2(42)2()()(CEEhmVEmVdEEdQEN=?mkE22 020?=2320 2)2(3)(?mEVEQ=3固体物理第六章费米能量的定义为绝对零度下，电子填充 的最高能级的能量。 与经典理论不同，对经典理论，
9、电子平均 动能为3/2kT，T0时，动能为0，但根 据 量 子 理 论 ， T0 时 ， 电 子 仍 具 有 v108cm/s速度。 （2）费米分布函数与费米能量eVEnmE75 . 1,)3(20322 020=?固体物理第六章为确定材料的电学特性，我们有两个任 务，确定晶体中的电子特性，确定晶体中 非常大量电子的统计特性。由于电子在半 导体、金属中的数目非常巨大，我们不可 能跟踪每一个粒子的运动。因此我们将讨 论晶体中电子的统计规律，注意在确定电 流的统计规律时泡利不相容原理是非常重 要的因素。固体物理第六章三种统计定律：第一，麦氏几率分布函数，粒子是可区分 的，对每一个能级上的粒子数没有
10、限制；第二，玻色-爱因斯坦分布，粒子是不可区分 的，每一个量子状态下允许的粒子数目没有 限制，声子或黑体辐射满足这种分布。第三，费米-狄拉克分布，粒子是不可区分 的，但是每一量子态只能有一个粒子，晶体 中的电子满足这一分布。固体物理第六章根据统计力学原理，热平衡下，能量为E的 能级被电子占据的几率为；11)()(+= kTEeEf(EF)为化学势，或称为费米能级,可通过求系 统粒子总数的方法来获得，它代表在体积不 变的条件下，系统增加一个电子所需的自由 能。f(E)称为费米分布函数，它表示能量为E 的一个量子状态被电子占据的几率，也可看 做该状态上的平均电子数，因为热力学几率 指该状态上的平均
11、电子数。固体物理第六章取T=0K，当EEF，exp(E-EF)/kTexp(+)+。f(EEF)=0固体物理第六章T=0K，f(E)为一阶跃函数，EF代表电子占据 的最高能级，当T0K时，在EF附近的过渡 区内f(E) 由1变为0，这一过渡区范围为kT 数量级，低于EF的能级被电子占据的几率 下降，高于EF的能级被电子占据的几率增 加。f(EF)=1/2 T=0K时的费米-狄拉克统计分布表明电子位 于可能的最高的能级，所有电子的能量低 于费米能级。费米能级决定了电子的统计 分布，不一定对应于某一个允许能级。NEfi i=)(根据原则上可由上式计算EF4固体物理第六章当温度高于绝对零度时，电子随
12、着热能的增 加会跳到更高的能级上去。 我们可以注意到在EF以下dE距离内空态的几 率与EF以上dE距离内被占据的几率是相同 的。函数f(E)与函数1-f(E)关于费米能级EF是 对称的。 考虑当E-EFkT，分子中的指数项远大于 1，费米-狄拉克统计函数变为：该式被称为波尔兹曼分布。()( )expF FEEfEkT固体物理第六章三、费米面费米面是E=EF在状态空间中的等能面，在 T=0K，它表示电子占有态和未占有态的 界面，对自由电子而言，费米面是以 k=k0为半径的球面， k0称为费米波矢。210210 0)2(1)2(1mEmEkkFF?=mkEvkkF00)(1? ?=四、EF的确定d
13、EEfENN)()(0 =固体物理第六章KT0=dEENNE )(00=KT0 dEEdQEN)()(=dEEfENN)()(0 =FEkT =+ aandxexnaxn22 )(6)(kTEQEQNFF +=23230232322)2(3)(FFFE ENEmVEQ=?212301 43)(FFEENEQ= 5固体物理第六章由上式知随温度T的上升EF以二次幂下降，但一 般温度下kT/E00.01，所以EF随T变化较弱，可 认为近似不变。 不难定性说明EF随T的变化关系。费米分布函数 在EF上下是对称的，而态密度N（E）不是对称 变化，而且随E单调上升，热平衡时，EE0电子占据数，以保持电 子
14、总数不变，由于EE0时有较高的态密度，为 了使两部分电子相等，则EF必须相应下降。2122302 23230)( 8 FFEkTENE ENN+=)(81 22 23230FFEkTE EN+=)(121 220 FFEkTEE=)(121 2 020 FEkTE=固体物理第六章自由电子气的热容洛伦兹把金属中的自由电子看作是理想气 体，服从经典统计规律玻尔兹曼分布，N 个自由电子的总能量为3/2NkT，对热容 量贡献为3/2Nk，与晶格振动的贡献相比 是同数量级，实验上发现金属的电子比 热只有这个数值的百分之一，索末菲采 用费米分布计算了电子气热容。0( )( )UEdNEf E N E dE
15、 =dEEENERE )()(0=dEEENEdR)()(=dEEfERU)(0=R(E)表示E以下量子态被电子填满时的总能量固体物理第六章22 )(6)(kTERERUFF +=2302523023053 23)( EENdE EENERE =2123049)(E ENER= 2212302 25230)( 49 653kTE ENE ENUFF+=带入得：)(121 2020EkTEEF=221 202 2102302 25202 25230)()(121 83)(121 53kTEkTE EN EkTE ENUF+=20020)(453 EkTNENEU+=固体物理第六章0TNEU053
16、)0(=053E=kEkTNdTdUCV)(202=)(202EkTkCV=每个电子对热容的贡献为：电子比热与温度成正比。在低温下晶格比热 按T3下降，最终在10K左右或更低的温度下会 小于电子比热，低温下金属的总比热可写 成：3+VCTT=固体物理第六章自由电子气体比热的量子理论，解决了早 期Drude经典理论的困难。按照经典理 论，每个电子的平均动能为3/2kBT，对比 热的贡献为3/2kB，与晶格比热有相同的 数量级。实际上只是费米面附近kBT范围 内的电子有贡献。这部分电子占全部电子 的kT/E0倍。固体物理第六章6-2载流子的散射 对某一载流子而言，散射具有偶然性，但对 大量载流子而言，在一定时间间隔内发生 的散射次数，以及散射后的速度分布，都 存在统计规律。 我们定义，单位时间内，每个载流
