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1、专 业精心策划S高一Z h i J i G a oK a o直击高考数学爱好者专 业精心策划S高考数 学 爱 好 者2 0 0 8年全国卷数学试卷, 分文理两卷, 都能按照 “根据大纲、 依托课本” 这一总体目标来命制.试题紧密贴近中学数学教学, 按照中学数学的要求在 “数形结合、 分类讨论、 转化化归、 函数与方程” 等数学思想和方法方面作了充分的考查.这些试题立意比较新颖, 选材源于教材而又高于教材.两份试卷科学、 准确地考查了考生继续学习所应具备的数学素养和潜能, 着重考查了考生对数学本质的理解,宽角度、 多视点、 有层次地考查数学理性思维.试卷结构稳定, 知识覆盖面广, 重点突出, 稳
2、中有新, 稳中有变.试题相比2 0 0 6年、2 0 0 7年难度上有所提高,试题的难、 中、 易比例恰当, 同时, 文理数学试题都没有偏题、 怪题, 而且题目多数具有立意新颖、“把关点” 多的特点, 有利于高校选拔人才, 应该说是一份好题, 有利于对中学数学教学的指导.可以说,2 0 0 8年全国卷数学试题虽然有一定的难度, 但预计将有较好的区分度.一、 结构稳定、 避免心理干扰今年全国卷的试题结构和去年相同, 选择、填空、 解答分值依然保持6 0 2 0 7 0, 题数也和去年相同, 保持了相对的稳定.这在2 0 0 8年这一不平凡的年度中稳定了考生的心理, 能够使之从容作答, 有利于考生
3、的正常发挥.试题难度总的来说和近几年基本相当, 大部分试题趋于稳定, 同时又在稳定的基础上推陈出新, 稳步发展.试题源于教材, 又高于教材, 大部分题目在教材中可以找到原型, 如文科(3) 题、 理科 (5) 题, 在教材向量章节的例题中可以找到原型; 文理科 (1 3) 题, 在线性规划这一节当中,到处可见这种题型.据不完全统计, 像这样 “有原型”的题目大约占到试题总量的三分之一以上.既体现了 “平安高考, 以人为本” 的人文关怀, 又具有高考的选拔性功能.如1 9题已知函数f(x)= x3+ a x2+ x + 1,a R .(1) 讨论f(x) 的单调性;(2) 设函数f(x) 在 (
4、-23,-1 3) 上为减函数, 求a的取值范围.这是学生比较熟悉的三次函数单调性的探究问题, 来源于教材的例题、 习题, 求导后降次为二次函数, 借助二次函数的判别式分类研究根的情况,研究导函数在区间上的函数值的正负, 从而决定函数区间上的单调性,这是学生多次演练过的“熟题型” , 简单且具有操作性, 稳定了考生的心理, 凸现高考命题的热点和趋势, 对中学数学教学回归课本, 研究应用课本具有深远的指导意义.二、 重点内容, 考查明显今年全国卷数学试卷在知识面的覆盖上依然较广、 较宽, 但又不刻意追求知识的覆盖面, 基本知识、 主干知识仍是考题的立足点.以理科为例, 第全国卷试题评析陕西刘大鸣
5、2 0 0 8年高考数学高考评析“#专 业精心策划S直击高考Z h i J i G a oK a o数学爱好者专 业精心策划S高考数 学 爱 好 者1、2、6、9、1 9题的函数, 第5、2 2题的数列, 第8、1 6题的三角、 第1 1、1 6、1 8题的立体几何, 第7、1 0、1 4、1 5、2 1题的解析几何, 第2 0题的概率、 第1 3、2 2题的不等式、 数列等重点知识是试卷的主体, 考的比较到位, 解析几何比重较大, 从这一点来看, 这份试题体现出重点知识重点考查的原则.文理科数学试题各部分知识点中, 考查分值的分布情况如下所示:知识 块函数 三角 数列 向量立体 几何解析 几
6、何概率 导数 其他文科1 52 01 752 23 21 21 71 0理科2 01 51 752 23 21 21 71 0三、 交汇点处命题, 考查学生的发展潜能整套试卷中, 在知识的交汇处命制试题的较多.学科内知识之间的联系加强, 出现知识交汇的考查题目较多, 如文科第 (2) 题, 既考查变量与变量之间的关系, 又考查变量和图象之间的关系.像这样的题目还有很多, 比如文科第 (4) 、(1 0) 、(1 4) 、 (1 5) 、 (2 1) 、 (2 2) 题; 理 科 第(2) 、 (9) 、 (1 1) 、(1 4) 、(1 5) 、(1 7) 、(1 9) 、(2 1) 、(2
7、2) 题.以理科为例, 第7题体现了函数与解析几何的交汇, 第1 0题体现了解析几何与不等式的交汇, 第1 4、1 5题体现了解析几何与解三角形有关知识的交汇,1 7题体现了三角函数与函数、 均值不等式的应用等知识的交汇, 第2 1题体现了向量与解析几何的交汇, 第2 2题体现了函数与数列、 不等式的证明等知识的交汇.这些试题在知识交汇点处命制, 全面地考查考生分析问题、 解决问题的能力, 有效考查考生的发展潜能, 发挥高考的选拔功能, 为考生进一步深造奠定基础.如1 7题设A B C的内角A、B、C的对边分别为a、b、c, 且a c o s B - b c o s A =3 5c .(1)
8、求t a n A c o t B的值;(2) 求t a n(A - B) 的最大值.解析(1) 依据边角满足的关系, 正弦定理化统一, 利用整体补角降元.由a c o s B - b c o s A =35c得s i n A c o s B - s i n B c o s A =3 5s i n C =3 5s i n(A + B) , 和角展开, 所以有s i n A c o s B -s i n B c o s A =3 5(s i n A c o s B + c o s A s i n B) ,化简即为s i n A c o s B = 4 s i n B c o s A,所以t a n
9、 A c o t B = 4;(2) 目标意识下, 借助差角正切公式沟通, 合理的使用上面求证的结论,由 (1) 知t a n A = 4 t a n B, 所以A、B都是锐角, 于是t a n B 0, 所以t a n(A - B)=t a n A - t a n B1 + t a n A t a n B=3 t a n B 1 + 4 t a n2B=3 1 t a n B+ 4 t a n B3 4,当且仅当t a n B =12时取得最大值.所以t a n(A - B) 的最大值为34.点评三角形的三角变换中变化角是通法, 利用正弦定理变化角, 目标意识下的变角 (补角、 和角展开)
10、, 同除一辅助因子, 凸现三角内部的交汇, 涉及到三角变换的常用的思维方法.差角正切的最值问题, 借助三角公式沟通, 注意第一问得到的结论, 利用不等式求最值很有新意, 凸现三角和不等式的网络交汇, 还考查到学生敏锐的观察能力, 同时揭示了系列试题的探究方法.可以说本题是章节内交汇和跨章节交汇乃至数学思想和方法交汇的典范.四、 联系实际, 贴近生活数学是生活知识的提炼, 来源于生活, 又应用于生活, 数学知识的应用意识是当前课改的一个主要目标之一, 这套试卷也充分体现了这一思想.理科试卷中的第2题以大家熟知的汽车运行为背景, 考查考生分析问题的能力和识图能力.第1 2题以花坛的种植方式为背景,
11、 考查了考生的排列组合知识和分类讨论的数学思想.第2 0题是以血液化验为背景考查考生的概率知识和分析问题、 解决问题的能力.!“专 业精心策划S高一Z h i J i G a oK a o直击高考数学爱好者专 业精心策划S高考数 学 爱 好 者这些试题以实际生活中的具体问题为背景, 无形使考生认识到数学日常生活中的实用性, 提高了考生对数学的兴趣和应用意识.如理科1 2题如图, 一环形花坛分成A、B、C、D四块,现有4种不同的花供选种, 要求每块里种一种花, 且相邻2块种不同的花,则不同的种法总数为()A . 9 6B . 8 4C . 6 0D . 4 8解析一从结果入手, 根据所选花的品种
12、数分类计数完成.若选择四种花: 有A4 4= 2 4种方法;若选择三种花: 有C3 4C1 3C1 2A2 2= 4 8种方法;若选择两种花: 有C1 4C1 3= 1 2种方法.分类计数原理得共有8 4种方法.故选B .解析二涂色问题, 是可重复的排列问题, 分步完成, 注意对顶的位置的颜色可同和不同, 有且只有两类,若A、C同色时, 有4 3 3 = 3 6种;若A、C不同色时, 有4 3 2 2 = 4 8种.所以共有3 6 + 4 8 = 8 4种, 故选B .点评本题主要考查了涂色问题, 通法是依不相邻两块是否同色分类讨论或从结果入手合理分类; 排列组合的学习是为了简化求解应用问题中
13、的计数, 借助学生司空见惯的涂色, 考查学生应用排列组合知识解决计数问题的能力, 对学生的思维品质 (阅读提取信息, 合理的分类设计做法, 达到既不重复又不遗漏) 等全方位的进行考查.如文科1 2题将1,2,3填入3 3的方格中, 要求每行、 每列都没有重复数字, 下面是一种填法, 则不同的填写方法共有()A . 6种B . 1 2种C . 2 4种D . 4 8种解析确定出第一行、 第一列的数字之后, 其余四格的数字也就随之确定.不妨先确定第一行的数字, 共有A3 3= 6种, 在确定第一列的另两个数字共有A2 2= 2种方法, 分步计数原理得1 2种填法.故选B .点评本题主要考查了排列组
14、合及分析问题的能力, 如何获取信息, 发现 “第一行、 第一列的数字确定之后, 其余四格的数字也就随之确定” 这一特征, 凸现学生的思维品质的高低, 反映不同层次解决应用问题的能力.五、 注重对考生数学思想方法的考查, 试题解题方法呈多样性如文理科第 (1 7) 题, 既可以从正弦、 余弦定理入手, 也可以从三角形投影定理入手; 文科第 (2 2)题、 理科第 (2 1) 题, 既可以运用点到直线的距离公式, 又可以通过求交点再求距离的方法解题, 用角平分线定理求解更简捷.总的来说, 涉及数形结合、 函数与方程等数学思想方法的题目很多.这样一来, 灵活多变的题目增多, 陈题、 旧题相应变少了,
15、 考前给学生的种种猜题、 押题的方法也就不那么 “灵验” 了.实际上, 更应注重的是考生数学基础知识、 基本方法的培养.数学解题过程是个体的思维能力作用于数学活动的心理过程, 是思维活动.考生解题的切入点不同, 运用的思想方法不同, 体现出不同的思维水平.2 0 0 8年全国卷试题很好地注意研究题目信息的配置, 考虑从不同角度运用不同的思想方法, 创设多条解题路径, 使不同思维层次的考生都有表现的机会, 从而有效地区分出考生不同的数学能力.例如理科第9题, 可以应用函数方程思想, 利用数形结合思想, 构造模拟函数的方法, 使抽象问题具体化和直观化.如9题奇 函 数f(x)在(0,+ )上 为
16、增 函数, 且f(1)= 0, 则不等式f(x)- f(- x) x 0的解集为()ABCD123312231“#专 业精心策划S直击高考Z h i J i G a oK a o数学爱好者专 业精心策划S高考数 学 爱 好 者A .(- 1,0)(1,+ )B .(- ,- 1)(0,1)C .(- ,- 1)(1,+ )D .(- 1,0)(0,1)分析注意奇函数f(x) 图象的特征, 化简抽象函数不等式f(x)- f(- x) x 0等价于x f(x) 0, 可构造不同的模拟函数求解.解利用奇函数的性质和同号特征, 原不等式等价于x f(x) 0, 由已知,模拟f(x) 的图象如右图,可得不等式的解集为 (- 1,0)(0,1).点评本题主要考查了函数的奇偶性、 单调性和不等式的解法.最好构造函数图象来解.认识奇函数对称性和同号的简化功能的认识, 抽象函数构造模拟函数使复杂问题简单化, 这是构造的数学思想和方法的体现.来源于平时对抽象函数求解总结提炼和积累, 要好好回味构造不同的函数模型的过程, 自
