扭转轴的强度设计与刚度设计

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1、5.2 5.2 圆轴的扭转切应力圆轴的扭转切应力5.1 5.1 切应力与切应变切应力与切应变5.3 5.3 圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形5.45.4 圆圆轴扭转轴扭转的的强度条件和刚度条件强度条件和刚度条件5.55.5 静不定问题静不定问题第五章第五章 扭转轴的强度设计与刚度设计扭转轴的强度设计与刚度设计1 1将任一截面上点将任一截面上点C C处的应力处的应力p p分解成垂直分解成垂直 于截面的分量于截面的分量 和切于截面的分量和切于截面的分量 。DATOt05.1切应力与切应变切应力切应力 ：切向分量切向分量 称切应力称切应力。2 2T TdxT TtdxcAdyt tt tt t t t

2、研究两横截面相距研究两横截面相距d dx x的任一的任一A A处单位厚度微元，左处单位厚度微元，左 右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。 AA A的平衡？的平衡？S SMMC C( (F F)=)=t t d dx xd dy y- -t td dy yd dx x=0 =0 t t= =t t 切应力互等定理：切应力互等定理：物体内任一点处二相互垂直的截面上 ，切应力总是同时存 在的，它们大小相等 ，方向是共同指向或 背离二截面的交线。 3 3切切应变应变与与t t的作的作 用相对应用相对应。切应变切应变 ：过过A A点直角点直角形状的形状的改

3、变改变。ACCyxDBBDAdydx在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：G G是是t t- - 曲线的斜率，如图，曲线的斜率，如图，称为切变模量。称为切变模量。-(2)剪切胡克定律（材料的切应力与切应变之间有与材料的切应力与切应变之间有与 拉压类似的关系）拉压类似的关系）纯剪应力状态纯剪应力状态: : 微元各面只有切应力作用。微元各面只有切应力作用。 1GOt1Gts4 4变形体静力学的基本研究思路：静力平衡条件静力平衡条件变形几何条件变形几何条件材料物理关系材料物理关系+(1) (1) 变形几何条件变形几何条件刚性平面假设：刚性平面假设： 变形前后，扭转圆轴各

4、变形前后，扭转圆轴各 个横截面仍然保持为平个横截面仍然保持为平 面，二平面间距离不变面，二平面间距离不变 ，其半径仍然保持为直，其半径仍然保持为直 线且半径大小不变。线且半径大小不变。变形前变形前变形后变形后1 1 圆轴扭转的应力公式圆轴扭转的应力公式5.2 5.2 圆轴的扭转切应力圆轴的扭转切应力5 5取长为取长为d dx x的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性 转动角转动角d df f，原来的矩形，原来的矩形ABCDABCD变成为菱形变成为菱形ABCABC D D 。(1) (1) 变形几何条件变形几何条件 是微元的直角改变量，即是微元的直角改变量，即

5、半径半径r r各处的切应变。因为各处的切应变。因为 CCCC = = d dx x= =r rd df f , , 故有：故有：d df f / /d dx x, ,称为单位扭转角。称为单位扭转角。对半径为对半径为r r的其它各处，可的其它各处，可 作类似的分析。作类似的分析。dxOCDA AB Brr rCDdfdfT T6 6(1)(1)变形几何条件变形几何条件 对半径为对半径为r r的其它各处，的其它各处， 作类似的分析。作类似的分析。切应变切应变g g的大小与半径的大小与半径r r成正比。与单位扭转成正比。与单位扭转 角角d df f /d/dx x成正比。成正比。即得变形几何条件为：

6、即得变形几何条件为：-(1)同样有：同样有：CC CC = = d dx x= =r rd df fdxOCDA AB Brr rCDdfT T r r r r7 7(2) (2) 物理关系物理关系 材料的应力材料的应力- -应变关系应变关系在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：G G是是t t- - 曲线的斜率，如图，曲线的斜率，如图，称为切变模量。称为切变模量。-(2)半径为半径为r r处的切应力则为：处的切应力则为：圆轴扭转时圆轴扭转时 无正应力无正应力1GOt1Gtys材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。

7、8 8讨论讨论：圆轴扭转时横截面上的切应力分布：圆轴扭转时横截面上的切应力分布圆轴截面给定，圆轴截面给定，d df f/d/dx x为常数为常数 ；G G是材料常数。是材料常数。-(3)dxOCDA AB Brr rCDdfT Tg gr rg gr r r rT Tot tr r r rt tmaxmax最大切应力在圆轴最大切应力在圆轴 表面处。表面处。截面上任一点的切应力与该点截面上任一点的切应力与该点 到轴心的距离到轴心的距离r r成正比；成正比；切应变在切应变在ABCDABCD面内，故切应面内，故切应 力与半径垂直，指向由截面扭力与半径垂直，指向由截面扭 矩方向确定。矩方向确定。9 9

8、(3) (3) 力的平衡关系力的平衡关系应力是内力应力是内力( (扭矩扭矩) )在微截面上的分布集度。各微截在微截面上的分布集度。各微截 面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。取微面积如图，有：取微面积如图，有：-(3)利用利用(3)(3)式，得到：式，得到： r rT Tot tr r r rt tmaxmaxdA1010(3) (3) 力的平衡关系力的平衡关系令：最后得到：最后得到：-(4)I Ir r 称为截面对圆心的极惯性称为截面对圆心的极惯性 矩，只与截面几何相关。矩，只与截面几何相关。 r rT Tot tr r r rt tmamax x

9、t tmaxmax在圆轴表面处，且在圆轴表面处，且W W = =I I / /r r，称为称为 扭转截面系数。扭转截面系数。p pr r 求求I Ir r，WWp p ? ?11112 圆截面的极惯性矩和扭转截面系数圆截面的极惯性矩和扭转截面系数扭转截面系数扭转截面系数 W W = =I I / /r r r rd d D Do o讨论内径讨论内径d d，外径，外径D D的空心圆的空心圆 截面，取微面积截面，取微面积d dA A=2=2 r rd dr r, , 则有：则有：极惯性矩极惯性矩: := AdAI2rrr rd dr rd dA A极惯极惯 性矩性矩)1 (3232)(244442

10、/2/3pprrpr-=-=DdDdIDd = =d d/ /D D抗扭截面模量：抗扭截面模量： 1616/ / ) )1 1( () )2 2/ /( /(4 43 3 p pr r- -= = =D DD DI IWWp p1212圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量d d D Do o空空 心心 圆圆 轴轴实实 心心 圆圆 轴轴D Do o极惯极惯 性矩性矩r=)1 ( 3244 p-DI抗扭截抗扭截 面模量面模量 )1(1643 p-=DWTa=d/D=0324DIp r=16163 3D DWWT Tp p= =1313功率常常用千瓦(kW)或马力表示，注意到

11、：1kW=1000Nm/s, 1马力=736Nm/s,则功率、转速与传递的扭矩之关系为：M (kN.m)=9.55Np (千瓦)/n (转/分)M (kN.m)=7.02Np (马力)/n (转/分)设轴的转速为每分钟设轴的转速为每分钟n n转，则每秒转过的角度为转，则每秒转过的角度为 2 2 n n/60, /60, 即有：即有： N NP P= = M / /t t= =M22 n n/60 /60 或或 M=60=60N NP P/2/2 n n力矩的功A可表示为力矩M与其转过的角度之积 ，功率NP是单位时间所做的功，故有： NP=A/t=M/t /t是每秒转过的角度（弧度）。功率、转速

12、与传递的扭矩之关系功率、转速与传递的扭矩之关系：1414单位扭转角为：单位扭转角为：相对扭转角相对扭转角 ：B B截面相对于截面相对于A A截面的扭转角。若截面的扭转角。若AB=AB=L L，则，则ABABGI GI 称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。r r若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。dxOCDA AB BrCDddgT TgT T ABABLBAdxdxGIGIT Td dL LABAB = = = 0 0 r r 若若ABAB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变

13、，则T T/ /GIGIr r=const. , =const. , 故有：故有：rGILTAB/=5.3 5.3 圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形1515dxOCDA AB Brr rCDdfT T r r r r实实 心心 圆圆 轴轴D Do oT Tt tr rt tmaxmaxd d D Do o空空 心心 圆圆 轴轴t tr rt tmaxmaxT T1616研究思路：研究思路：变形几何条件变形几何条件dx -(1)d /r= +材料物理关系材料物理关系dxdGGrtrr=-(2)静力平衡关系静力平衡关系+ATdAdxdG=2r-(3)圆轴扭转切应力公式：圆轴扭转切应力公式：r rr r

14、r rt t I IT T = =相对扭转角公式相对扭转角公式：1717结论：结论：1 1）圆轴扭转时，横截面上只有切应力，切应力在横）圆轴扭转时，横截面上只有切应力，切应力在横 截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。向确定。2 2） 截面任一处截面任一处 截面外圆周处（表面）截面外圆周处（表面）t tr r= =T T r r/ /I Ir rt tmamax x= =T T/ /WWT Td d D Do o空空 心心 圆圆 轴轴实实 心心 圆圆 轴轴D Do oT Tt tr rt tmaxmaxT Tt tr rt tmaxmax1

15、818讨论：讨论：2 2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确? ? 1 1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否面尺寸不同，其扭矩图相同否? ?若二轴材料不同、截面尺寸相同，若二轴材料不同、截面尺寸相同，各段应力是否相同？各段应力是否相同？ 变形是否相同？变形是否相同？相同相同不同o oT To oT To oT To oT T1919例:圆轴的直径d=100mm,长度为2l,l=500mm.B.C 两处承 受外力偶分别 为Me1=7000Nm,Me2=5000Nm.若材料的 剪切弹性模量G=82GPa。 求（1）试做轴的扭矩图； （2）求轴的最大切应力，并指出所在位置； （3）求C截面对A截面的相对扭转角。解解: : (1)(1)画扭矩图画扭矩图（2 2）确定最大切应力）确定最大切应力 BCBC段各截面的边缘上段各截面的边缘上（3 3）计算相对扭转角）计算相对扭转角2020例例: :空心圆轴如图，已知空心圆轴