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1、学案1 随机事件的概率 事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率 的稳定性,了解概率的意义以及频率与概 率的区别. (2)了解两个互斥事件的概率加法公式. 考 向 预 测 2013年高考，试题仍以中低档题为主，很有可能在选择 、填空题中考查.1.确定事件和随机事件（1）在条件S下， 发生的事件，叫做相对于 条件S的必然事件，简称 .（2）在条件S下， 发生的事件，叫做相对于条 件S的不可能事件，简称 .（3） 与 统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件.（4）在条件S下， 的事件，叫做相 对于条件S的随机事件，简称 .（5）确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母表 示 .A
2、，B，C 一定会 必然事件 一定不会 不可能事件 必然事件 不可能事件 可能发生也可能不发生 随机事件 2.频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是 否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的 ，称事件A出现的比例fn(A)= 为事 件A出现的频率.3.概率对于给定的事件A，如果随着试验次数的增加，事 件A发生的频率fn(A)稳定在 上，把这个 记作 ，称为事件A的概率，简称为A的概率.频数 某个常数 常数 P（A） 4.事件的关系与运算（1）一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生 ，则事件B 发生，这时称事件B包含事件A（或称 ），记作 （或 ）.（2）一般地，若
3、，且 ，那么称事件A 与事件B相等，记作 .（3）若某事件发生当且仅当事件A发生 事件B 发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或 ），记作 （或 ）.（4）若某事件发生当且仅当事件A发生 事件 B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或 ），记作 （或 ）.一定 事件A包含于事件B 或 和事件 AB A+B 且 积事件 AB AB （5）若AB为不可能事件(AB= )，那么称 事 件A与事件B ，其含义是：事件A与事件B在任何 一次试验中不会同时发生.（6）若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称 事件A与事件B ，其含义是：事件A与 事 件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.5.
4、概率的几个基本性质（1）概率的取值范围为： ;（2）必然事件的概率为： ；（3）不可能事件的概率为: ;（4）互斥事件概率的加法公式： 如果事件A与事件B互斥，则P(AB)= .特别地，若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)= .1-P(B) 互斥 互为对立事件 0,1 1 0 P(A)+P(B) 考点考点1 1 随机事件的概率随机事件的概率 一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一只球 .(1)“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？(2) “取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件？它的概率是多少?【分析分析】此题是概念题，在理
5、解必然事件、不可能事 件、随机事件及概率定义的基础上，容易得出正确解答.【解析解析】（1）由于口袋内装有黑、白两种颜色的球 ，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率为0.（2）由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球, 也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的 概率是 .（3）由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取 出一个球不是黑球，就是白球.因此，“取出的球是白球 或是黑球”是必然事件，它的概率为1.【评析评析】解决这类问题的方法主要是弄清每次试验的意义及每个基本事件的含义，正确把握各个事件的相互关系.判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件，主要是依据在一定的条件下，所要求
6、的结果是否一定出现、不可能出现，或可能出现、可能不出现，它们的概率（范围）分别为1,0,(0,1).某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示：射击击次数1020501002005001000击击中靶心 的次数8194490178455906击击中靶心 的频频率(1)计算表中击中靶心的各个频率;(2)这个运动员击中靶心的概率约是多少?(1)依据公式P= ,可以依次计算出表中击中靶心的频率.f(1)= =0.8, f(2)= =0.95,f(3)= =0.88, f(4)= =0.9,f(5)= =0.89, f(6)= =0.91,f(7)= =0.906. (2)由（1）知,射击的次数不同,
7、计算得到的频率值不同,但随着射击次数的增多,却都在常数0.9的附近摆动.所以击中靶心的概率约为0.9. 【分析分析】由互斥事件或对立事件的概率公式求解.考点考点2 2 互斥事件的概率互斥事件的概率某射手在一次射击训练中,射中10环,9环,8环,7环的概 率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射 击中:(1)射中10环或7环的概率;(2)不够7环的概率.【解析解析】 (1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事 件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与 B是互斥事件，“射中10环或7环”的事件为AB.故P(AB)=P(A)+P(B)=0.21+0.28
8、=0.49.射中10环或7环的概率为0.49.(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环,5环 ,4环,3环,1环,0环.但由于这些概率都未知,故不能直接求解 .可考虑从反面入手.不够7环的反面是大于、等于7环，即 7环，8环，9环，10环，由于此二事件必有一个发生，故 是对立事件，故可用对立事件的方法处理.设“不够7环”为 事件E，则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”.由(1)知“ 射中7环”“射中8环”等彼此互斥.P(E)=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,从而P(E)=1- 0.97=0.03.射不够7环的概率为0.03.【评析评析】 (1)必须分析清楚事件A
9、,B互斥的原因,只有互斥 事件才能用概率和公式.(2)所求事件必须是几个互斥事件的和.满足以上两点 才能用P(AB)=P(A)+P(B).(3)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时 ,可先转化为求其对立事件的概率.已知袋中有编号19的小球各一个,它们的大小相同,从中 任取三个小球.求:(1)恰好有一球编号是3的倍数的概率;(2)至少有一球编号是3的倍数的概率;(3)三个小球编号之和是3的倍数的概率.(1)从九个小球中任取三个共有 种取法,它们是等可能的.设恰好有一球编号是3的倍数的事件为A,则 P(A)= .(2)设至少有一球编号是3的倍数的事件为B,则P(B)=1- 或P(B)= .
10、(3)设三个小球编号之和是3的倍数的事件为C,设集合S1=3,6,9,S2=1,4,7,S3=2,5,8,则取出三个小球编号之和为3的倍数的取法共有3 + 种,则 P(C)=【分析分析】从9张票中任取2张,要弄清楚取法种数为 98=36,“号数至少有一个为奇数”的对立事件是“号数全是偶数”，用对立事件的性质求解非常简单.考点考点3 3 对立事件的概率对立事件的概率 一个箱子内有9张票,其号数分别为1,2,9.从中任取2张,其号数至少有一个为奇数的概率是多少?【解析解析】从9张票中任取2张,有(1,2),(1,3),(1,9);(2,3),(2,4),(2,9);(3,4),(3,5),(3,9
11、);(7,8),(7,9),(8,9),共计36种取法.记“号数至少有一个为奇数”为事件B，“号数全是偶数”为 事件C，则事件C为从号数为2，4，6，8的四张票中任取2张 有(2,4),(2,6),(2,8),(4,6),(4,8),(6,8)共6种取法.P(C)= ,由对立事件的性质得P(B)=1-P(C)=1- = .【评析评析】(1)求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将 所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先去求对立事 件的概率.(2)涉及到“至多”“至少”型的问题,可以用互斥事件 以及分类讨论的思想求解,当涉及的互斥事件多于两个时, 一般用对立事件求解.同时抛掷两枚骰子,求至少有一
12、个5点或6点的概率.解法一:视其为等可能性事件,进而求概率.同时投掷两枚骰子,可能结果如下表:1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)解法二解法二:利用对立事件求概率.至少有一个5点或6点的对立事件是没有5点且没有6 点.如上表,没有5点且没有6点的结果共有16个,没有5 点且没有6点的概率为P= .至少有一个5点或6点的概率为1- = . 共有36个不同的结果,其中至少有一个5点或6点的结 果有20个,至少有一个5点或6点的概率为P= .解法三解法三:利用公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).设事件A:含有点数为5的;事件B:含有点数为6的.显然A,B不是互斥事件.P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= .至少有一个5点或6点的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= + - = = .1.1.必然事件与不可能事件可看作随机事件的
