《2019版一轮优化探究理数第八章第六节立体几何中的向量方法练习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版一轮优化探究理数第八章第六节立体几何中的向量方法练习（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习1一、填空题1已知向量 m、n 分别是直线 l 和平面 的方向向量和法向量，若cosm，n ，则 l 与 所成的角为_12解析：由于 cosm，n ，所以m，n120，所以直线 l 与 所成的12角为 30.答案：302若 a(1，2)，b(2，1,1)，a 与 b 的夹角为 60，则 _.解析：由cos 60 ，解得 17 或 1.ab|a|b|465212答案：17 或 13点 A(n，n1,2n)，B(1，n，n)，则|的最小值是_AB解析：|2 (1n)2(2n1)2(n)26(n )2 ，当 n 时，|的AB121212AB最小值为.22答
2、案：224.如图所示，PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面，AB2，E为 PB 的中点，cos， ，若以 DA，DC，DP 所在DPAE33直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为_解析：设 PDa(a0)，则 A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1， )，a2(0,0，a)，(1,1， )，DPAEa2苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习2由 cos， ，a ，a2.DPAE33a222a2433E 的坐标为(1,1,1)答案：(1,1,1)5直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M 是 CC1的中
3、点，则异面直线 AB1与 A1M 所成的角为6_解析：建立坐标系如图所示，易得 M(0,0，)，A1(0， ，0)，623A(0， ，)，B1(1,0,0)，36(1，)，AB136(0，)A1M362103 0，AB1A1M62.AB1A1M即 AB1A1M，即 AB1与1M 所成的角为 90.答案：906长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E 为 CC1的中点，则异面直线 BC1与 AE 所成角的余弦值为_解析：建立坐标系如图，则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1,2,1)，BC1AEcos ， BC1AE
4、BC1AE|BC1|AE|.3010苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习3答案：30107正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 23，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_解析：设一个侧面面积为 S1，底面面积为 S，则这个侧面在底面上射影的面积为 ，由题设得 ，设侧面与底面所成二面角为 ，则 cos ，S3S1S2313SS1S3S11260.答案：608P 是二面角 AB 棱上的一点，分别在 、 平面上引射线 PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角 AB 的大小为_解析：不妨设 PMa，PNb，如图，作 MEAB 于E，NFAB 于 F，EPMFPN45，
5、PEa，PFb，2222()()EMFNPMPEPNPFPMPNPMPFPEPNPEPFabcos 60abcos 45abcos 45ab222222220，ab2ab2ab2ab2，二面角 AB 的大小为 90.EMFN答案：909正四棱锥 SABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱 SD 的中点，且SOOD，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是_解析：如图所示，以 O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz.苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习4设 ODSOOAOBOCa，则 A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0， ， )a2a2则(2a,0,0)
6、，(a， ， )，(a，a,0)CAAPa2a2CB设平面 PAC 的法向量为 n，可求得 n(0,1,1)，则 cos ，n .CBCBn|CB|n|a2a2 212，n60，CB直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 906030.答案：30二、解答题10如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1各棱长都是 4，E 是 BC的中点，动点 F 在侧棱 CC1上，且不与点 C 重合(1)当 CF1 时，求证：EFA1C；(2)设二面角 CAFE 的大小为 ，求 tan 的最小值解析：(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得 A(0，0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，A1(
7、0,0,4)，3E(，3,0)，F(0，4,1)3于是1(0，4,4)，CA(，1,1)EF3则1(0，4,4)(，1,1)0440，CAEF3故 EFA1C.(2)设 CF(04)，平面 AEF 的一个法向量为 m(x，y，z)，则由(1)得F(0,4，)(，3,0)，(0,4，)，于是由 m，m可得Error!即Error!取AE3AFAEAF苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习5m(，4)3又由直三棱柱的性质可取侧面 AC1的一个法向量为 n(1,0,0)，于是由 为锐角可得 cos ，sin ，所以 tan .|mn|m|n|32 242162 242163131632由 04
8、，得 ，即 tan .114131363故当 4，即点 F 与点 C1重合时，tan 取得最小值.6311如图，矩形 ABCD 和直角梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BCF90，BECF，CEEF，AD，EF2.3(1)求异面直线 AD 与 EF 所成的角；(2)当 AB 的长为何值时，二面角 AEFC 的大小为 45？解析：如图，以点 C 为坐标原点，分别以 CB，CF 和CD 作为 x 轴，y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系 Cxyz.设 ABa，BEb，CFc(bc)，则 C(0,0,0)，A(，0，a)，B(，0,0)，E(，b,0)，333F(0，c,0)，D(0,0，a)，(1)
9、(，0,0)，(，0,0)，(，bc,0)，DA3CB3FE3由|2，得 3(bc)24，bc1.FE所以(，1,0)FE3所以 cos， ，DAFEDAFE|DA|FE|33 232所以异面直线 AD 与 EF 所成的角为 30.(2)设 n(1，y，z)为平面 AEF 的法向量，则 n0，n0，AEEF结合|2|2|2|2，BCBECFEF苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习6解得 n(1， ，)33 3a又因为 BA平面 BEFC，(0,0，a)，BA所以|cosn， |，BA|nBA|n|BA|3 3aa 4a22722得到 a.3 32所以当 AB 为时，二面角 AEFC 的
10、大小为 45.3 3212如图，棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC60，平面 AA1C1C平面ABCD，A1AC60.(1)证明：BDAA1；(2)求二面角 DA1AC 的平面角的余弦值；(3)在直线 CC1上是否存在点 P，使 BP平面 DA1C1？若存在，求出点 P 的位置；若不存在，说明理由解析：连结 BD 交 AC 于 O，则 BDAC，连结 A1O.在AA1O 中，AA12，AO1，A1AO60，A1O2AA AO22AA1AOcos 603，2 1AO2A1O2A1A2，A1OAO，由于平面 AA1C1C平面 ABCD，A1O底面 ABCD，以 OB、OC、O
11、A1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A(0，1,0)，B(，0,0)，3C(0,1,0)，D(，0,0)，A1(0,0，)33(1)证明：由于(2，0,0)，(0,1，)，BD3AA13苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习7则0(2)1000，BDAA1.AA1BD33(2)由于 OB平面 AA1C1C，平面 AA1C1C 的法向量 n1(1,0,0)，设 n2平面 AA1D，则Error!设 n2(x，y，z)，得到Error!取 n2(1， ，1)，3cos n1，n2，n1n2|n1|n2|55二面角 DA1AC 的平面角的余弦值是.55(3)假设在直线 CC1上存在点 P，使 BP平面 DA1C1，设，P(x，y，z)，则(x，y1，z)(0,1，)，CPCC13得 P(0,1，)，(，1，)3BP33设 n3平面 DA1C1，则Error!设 n3(x3，y3，z3)，得到Error!不妨取 n3(1,0，1)又平面 DA1C1，BP则 n30，BP即0，得 1，33即点 P 在 C1C 的延长线上且使 C1CCP.
