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1、映射与反函数 一映射的概念 （将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合, 便得到映射概 念） 1、定义 1: 设 A、B 是两个集合 , 如果按照某种对应法则f, 对于集合 A 中任何一个元素 , 在集合 B中都有唯一的元素和它对应, 那么这样的对应 ( 包括集合 A、 B及集合 A到集合 B的对 应法则 f) 叫做集合 A到集合 B的映射 , 记作 f ：AB 2、定义 2: 给定一个集合 A到集合 B的映射 f ：AB,且 aA,bB,如果在此映射之下元 素 a 和元素 b 对应, 则将元素 b 叫做元素 a 的象, 元素 a 叫做元素 b 的原象 . 即如果在给定映射 下有
2、f ：ab, 则 b 叫做 a 的象,a 叫做 b 的原象. 注意: 映射定义的精髓在于“任一(元素) 对应唯一 ( 元素)”, 即 A中任一元素在 B中都有唯 一的象 . 在这里 ,A 中元素不可剩 , 允许 B 中有剩余；不可“一对多”, 允许“多对一” . 因此 , 根据 B中元素有无剩余的情况 , 映射又可分为“满射”和“非满射”两类. 集合 A到集合 B的映射 f ：AB 是一个整体 , 具有方向性； f ：AB 与 f ：BA 一般情 况下是不同的映射 . 二反函数的概念1、反函数的定义：一般地，函数yf （x） （xA）中，设它的值域为 C，我们根据这个 函数中 x, y 的关系
3、，用 y 把 x 表示出来，得到 x（y） 如果对于 y 在 C中的任何一个值， 通过 x（y） ，x 在 A中都有惟一的值和它对应，那么，x（y）就表示 y 是自变量， x 是自变量 y 的函数，这样的函数x（y） （yC）叫做 yf （x） （xA）的反函数，记作 xf1（y） 2、反函数1yfx 与原函数 yfx 的关系：性质 1、1yfx 的定义域、值域分别为yfx 的值域、定义域。性质 2、若 yfx 存在反函数，且yfx 为奇函数，则1yfx 也为奇函数。性质 3、若 yfx 为单调函数，则1yfx 同 yfx 有相同的单调性。性质 4、 yfx 和1yfx 在同一直角坐标系中，图
4、像关于yx对称。3、求反函数的步骤：求原函数的值域；由y=f(x)求出 x；x 与 y 互换；写出反函数的定义域例 1：已知21101fxxx，求1fx练习：已知2110fxxx，求1fx例 2：求11R212xyxx且x的反函数练习、求2122xyxx的反函数例 3、已知21211,2fxxxx，求fx的反函数练习：已知函数26 13fxxx，求11fx例 4、求20102xx y xx的反函数（注：求分段函数的反函数要分段求，最后要用分段函数的形式表示出来）练习：已知211 111xx fxxxxx在处连续，求1fx例 5、已知1 2221 ,13fxxfx求的值练习、已知23 3xxfx
5、，求1 3xf例 6、已知xfxak的图像过点1,3，其反函数1yfx的图像过2,0点，求fx的表达式。练习、已知2xfxb的反函数为1yfx，若1yfx的图像经过点5,2Q，求 b 的值。例 7：已知函数211,2xfxaxaxa的图像关于直线yx对称，求 a 的值练习、已知函数2xfxxaxa图像关于直线yx对称，求 a 的值练习一一、选择题1. 设),(a为 221)(xxxf反函数的一个单调递增区间, 则实数a的取值范围为 ( ) A. 2a B. 2a C. 2a D. 2a2. 已知)(xf是 R上的增函数，点A（ 1，1）,B（1，3）在它的图象上，)(1xf为它的反函数，则不等
6、式1|)(log|21xf的解集是（）A （1，3）B （2，8）C （ 1，1）D （2，9）3. 函数)(xfy的反函数)(1xfy的图象与，轴交于点)2,0(P，则方程0)(xf的根是 x=（）A4 B3 C 2 D1 4. 若函数)2(),0(1)()(21fxxxfxf则的反函数的值A1 B 1 C 1 或 1 D5 5. 函数1yx（04x）的反函数是（）（A）2(1)yx（13x）（B）2(1)yx（04x）（C）21yx（13x）（D）21yx（04x) 6. xxxf1)(的反函数为（）A.)1( 11xxy B.)1(1xxxy C. )1(11xxyD. )1(1xxxy
7、7. 已知23( ) 1xf x x，函数( )yg x 的图象与函数1(1)yfx的图象关于直线yx对称，则(11)g等于（）A32B52C2711D2398. 若函数)2(),0(1)()(21fxxxfxf则的反函数的值（）A1 B 1 C 1 或 1 D5 9. 函数 y = ()axa xa的反函数是Ay(x a)2a (x a) By (x a)2a (x a)Cy(x a)2a (x a) Dy (x a)2a (x a)10. 已知函数f(x)满足条件f(x) 0；对任意x、yR，都有f(xy) f(x) f(y) ；x0 时， 0f(x) 1则不等式f-1(x24x3)f1
8、(3) 的解集为 ( )学科网A( ， 0) (4 ， ) B(0，4) C(0，1) (3，4) D ( ， 0) (3 ，4) 二、填空题1.( )(1)axf xxa已知，且1( )fx的对称中心是1,2，则a的值是 . 2. 已知函数3( )2xf x，1( )fx是( )f x的反函数，若16mn（mn+R，） ，则11()( )fmfn的值为 _. 3 设 函 数( )yf x存 在 反 函 数1( )yfx, 且 函 数( )yxf x的 图 象 过 点 (1,2),则 函 数1( )yfxx的图象一定过点 . 4y(1x0)函数 的反函数是，反函数的定92x义域是 _5如果一次
9、函数yax 3 与 y 4xb 的图像关于直线yx 对称，那 a_，b _6已知函数yf(x) 存在反函数，a是它的定义域内的任意一个值，则f-1(f(a) _三、解答题1、 求下列函数的反函数：(1)y(x)(2)yx2x3x(02 ， ，35 211 2x x(3)y(x0)(4)yx +1 (1x0) (0x1) 112xx2若函数 yfx 的反函数是 yg x ，,0fabab，求( )g b3已知函数13axfxx的反函数就是fx 本身，求 a 的值4f(x)yg(x)yf(x1)设函数，函数的图像是的图像2311xx，关于 yx 对称， 求 g(2)的值5、已知 f(x) x2,g(x) 21x+5，设 F(x) f g-1(x) -g-1f(x) . 试求 F(x) 的最小值 . 6 （1）已知 f(x) = 4x2x1，求 f1(0)的值（2）设函数 y= f(x)满足 f(x1) = x22x3 (x 0)，求 f1(x1)7. 已知 f(x) axx12(x -a,a 21)(1) 求 f(x) 的反函数； (2) 若 f(x) f-1(x) ， 求 a的值； (3)如何作出满足 (2) 中条件的 yf-1(x) 的图像
