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1、A Thesis Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements forthe Degree of Master of ScienceDynamic System and Control System of Car ParallelParkingCandidate: Xiong ShanshanMajor: Applied MathematicsSupervisor : Prof. Yang XiaosongHuazhong University of Science 车辆驱动 为前轮驱动, 低速下的车辆运动学模型. 碰撞边界约束是基于
2、泊车过程的理想化, 没2有过多考虑车辆运动同时转向的碰撞, 仅仅考虑车辆固定转向角的运动. 在此基础上 车辆只可能出现四种碰撞情况, 分别是车辆后角与下边界的碰撞, 车辆前角与上边界 的碰撞, 车辆前角以及后轮与停车障碍物的碰撞. 基于上面的碰撞约束, 推导出前后停车方式的最小停车位要求, 和最小道路宽度要求, 进而解释为什么人们喜欢倒向停车. 第三章是停车可行区域求解与路径规划部分. 在该部分中, 给出了基于四段相切 圆弧的可行泊车区域, 以及该四段圆弧方程的显示表达式. 在给定可行泊车区域的基 础上, 结合车辆转向角速度的约束, 对一条直线同时与两段圆弧相切构成的泊车轨迹进行优化. 基于微
3、分几何知识平面曲线知识, 利用贪心搜索建立符合车辆转向角速度 约束的泊车轨迹数值解. 第四章是文章的核心章节. 在该章中, 分析了三种确定性控制方案: 点到点控制, 路径反馈控制和路径追踪控制的优缺点后, 选取路径反馈控制方案作为我们平行停车的控制方案. 然后利用 Fr enet 坐标, 通过坐标变换得到车辆基于给定曲线的运动学描 述. 然后利用该运动学方程, 通过一定的变量替换得到一个线性控制系统, 利用线性 控制理论知识, 构建反馈控制. 最后利用得到的反馈控制方案和规划的路径, 利用计算机进行反馈控制模拟, 验证反馈控制误差.32泊车过程中的约束汽车作为一种特殊的轮式机器人, 在泊车的过
4、程中受到以下几种约束:动力学约束: 作为一种特殊的轮式机器人, 汽车受到非完整动力学约束, 也就是说汽 车运动轨迹的几何形状受到一定的约束. 这种约束实际上就是汽车后 轮坐标与汽车方位角所要满足的一定方程.性能约束: 作为特定的轮式移动机器人, 汽车本身所具备的性能是一定的, 包括车 辆的尺寸, 加速度, 最大速度和转角加速度, 最大转角速度, 最大转角 等.碰撞约束: 在汽车的运动过程中, 我们要避免其碰触到任何物体, 包括停放的车 辆, 停车位边界, 移动的行人和车辆等.在进行轨迹反馈泊车过程中, 我们不可能顾全所有的约束, 或多或少的会忽略某些次 要约束, 其中最常见的是忽略性能中的加速
5、度和转角加速度. 下面我们分别考虑汽车 的非完整动力学约束, 最大转角约束和碰撞约束的数学模型.2.1基于 Ackermann 转向几何学的最大转角限制在车辆转向过程中, 为了避免轮胎的侧向磨损, 必须保证所有车轮的转弯轴线相 交于一点, 如图 2-1. 图中车辆前轮的左右转角分别为 l和 r, 抽象中间转角即所谓 的 Ackermann 转角39. 他们之间的关系为tanl=L Rr W/2,tan =L Rr,tanr=L Rr+ W/2,其中 L 为车的轴距, W 为车的轮距,也可以当做车宽. 从上面的公式可以看出, 我们知道了 Ackermann 转向角就可以算出其左右轮的转角分别为l
6、= arctanL L/tan W/2,r= arctanL L/tan + W/2.从而小车模型可以简化为三轮车模型, 对应的可以把 Ackermann 转角的限制当做车 辆转角限制.4图 2-1 Ackermann 转向几何2.2车辆动力学约束在平面上确定车辆位置和姿态的变量只需要三个, 车辆后轮中点的坐标 (xr,yr)和 车辆方向与 X 轴的夹角 . 如图 2-2 所示. 根据小车的尺寸结构我们有图 2-2 小车模型5 xf xr= Lcos,yf yr= Lsin.(2.1)由前轮无侧滑, 即前轮轴向速度为零得到 xfsin( + ) yfcos( + ) = 0.(2.2)由后轮无
7、侧滑, 即后轮轴向速度为零得到 xrsin yrcos = 0.(2.3)取前轮驱动速度为 v, 我们有 xf= v cos( + ), yf= v sin( + ).(2.4)化简以上四式可以得到小车动力学约束方程 xr= v coscos, yr= v cossin, =v Lsin.(2.5)在车辆转向过程中, 车辆转向半径是我们非常关心的, 我们可以通过计算一下后 轮中点轨迹的曲率来得到车辆转向半径. 由曲率公式 k =| yr xr xr yr| ( xr2+ yr2)3/2可得:k =1 Ltan,(2.6)从而得到车辆转向半径R =1 k=L tan.这说明车辆转弯时的转弯半径与
8、车辆速度无关, 仅与车辆的转向角有关. 在车辆转 向角保持不变时, 车辆的转弯半径也保持不变, 其后轮轨迹为一段圆弧. 这与车辆的几何约束 (车轮无侧滑) 和人的常识是吻合的. 同样也可以证明图 2-3 中的转弯半径 Rri,Rro,Rfi,Rfo都在转弯角 不变时保持不变. 而且他们之间有如下关系:Rfo= (R + W/2)2+ (L + Lf)2,(2.7)Rfi= (R W/2)2+ (L + Lf)2,(2.8)Rro= (R + W/2)2+ L2r,(2.9)Rri= (R W/2)2+ L2r.(2.10)6图 2-3 车辆转弯时的几个重要转弯半径另外还有两个非常重要的车辆转弯
9、是车辆转弯时所有转弯半径的边界值 Rmin,RmaxRmin= R W/2,(2.11)Rmax= Rfo.(2.12)2.3车辆碰撞约束决定的最小停车条件在平行泊车的过程中, 存在着道路宽度限制 (泊车允许宽度) 和泊车位长度限制. Prince 的研究40表明, 车辆运行过程中前轮的轨迹变化决定了后轮的轨迹, 但是这种 影响的关系式是难以表述的, Prince 也仅仅是考虑了前轮直线运动和圆周运动的情形. 故而我们要从另外一个角度考虑如何避免车辆碰撞的问题, 从而规划出一条反馈 轨迹. 由节 2.2 可知, 车辆转向角不变时, 车辆的运行轨迹是一段圆弧, 而且转向角越大, 对应的转弯半径越
10、小. 这样我们有图 2-4 中的 4 种可能碰撞, 依据这些碰撞约束, 我们 就可以得到停车位的约束要求.2.3.1停车位最小长度要求如果想一次就把车停在车位里面, 而不是来来回回的倒车, 那么车位长度有一个 对应的最小要求, 而且这个最小长度与我们的倒车方式是密切相关的. 一次倒向泊车入位的车位要求示意图见图 2-5a, 从而可以得到最小车位长7(a) 尾部碰撞底边(b) 后轮碰撞拐角(c) 前轮碰撞道路(d) 前轮碰撞拐角图 2-4 平行泊车可能出现的碰撞点示意图.(a) 倒向泊车入位(b) 正向泊车入位图 2-5 两种不同的泊车方式示意图8度Lr+ L + Lf+ L 满足的边界关系式3
11、814为(L + Lf+ L)2+ (R1+ W/2 d)2= (R1+ W/2)2+ (L + Lf)2.(2.13)简单计算可以得到L = (L + Lf)2 d2+ (2R1+ W)d (L + Lf).(2.14)一次正向泊车入位的车位车位要求示意图见图 2-5b, 从而可以得到最小车位长 度Lr+ L + Lf+ L 满足的边界关系式为L2+ (R1+ W/2 d)2= (R1+ W/2)2+ (L + Lr)2.(2.15)简单化简得到L = (L + Lr)2 d2+ (2R1+ W)d.(2.16)比较式 2.14 和式 2.16 可以发现, 倒向泊车入位对车位长度的要求比正向
12、倒车入 位的车位长度要求小许多, 二者几乎相差一个车长 (Lr,Lf相对与 L 都比较小). 为了 更加直观的说明该问题, 我们取一组数据来简单的计算一下. 取 L = 2.85, W = 1.81, Lf= 1.54, Lr= 1.57, = 6, d = 2.4. 计算得到倒向停车的长度额外要求 L = 2.056, 顺向停车的长度额外要求为 L = 6.466, 可见二者的差距之大.2.3.2道路宽度的最小条件图 2-6 最小停车道路宽度示意图在泊车时, 不仅要考虑停车位的长度, 同时还要考虑泊车时需要的道路宽度, 如 图 2-6 所示. 道路宽度的最小值是由图 2-4b 和图 2-4c
13、 导致碰撞时的极限边界所决9定的. 两段相切圆弧构成的泊车轨迹来计算所需要的最小道路宽度. 设第一段圆 弧的半径为 R1, 第二段圆弧的半径为 R2, 切点的坐标为 (x,y), 第一个圆弧的圆心 为 (Lr,Rro), 第二个圆弧的圆心为 ( x, y). 由第二段圆弧对应极小半径圆弧经过碰点(Lr+ L + Lf+ L,d) 有(Lr+ L + Lf+ L x)2+ (d y)2= (R2 W/2)2.(2.17)由第一段圆弧与第二段圆弧相切有(Lr x)2+ (Rro y)2= (R1+ R2)2.(2.18)对公式 (2.17) 拆分化简得到(Lr x)2+ 2(L + Lf+ L)(
14、Lr x) + (L + Lf+ L)2+ (d Rro)2+ 2(d Rro)(Rro y) + (Rro y)2= (R2 W/2)2.(2.19)公式 (2.19) 减去公式 (2.18)有2(L + Lf+ L)(Lr x) + (L + Lf+ L)2+ (d Rro)2+ 2(d Rro)(Rro y)= (R2 W/2)2 (R1+ R2)2.(2.20)由上式可以得到 Lr x 的表达式Lr x =(R2 W/2)2 (R1+ R2)2 (L + Lf+ L)2 (d Rro)2 2(L + Lf+ L)d Rro L + Lf+ L(Rro y).(2.21)令C1=(R2
15、W/2)2 (R1+ R2)2 (L + Lf+ L)2 (d Rro)2 2(L + Lf+ L),C2=d Rro L + Lf+ L.将公式 (2.21) 代入公式 (2.18) 中并化简得到(1 + C22) y2+ 2C2(C1 C2Rro) Rro y + (C1 C2Rro)2+ R2ro (R1+ R2)2= 0.令C3= C2(C1 C2Rro) Rro,10C4= (C1 C2Rro)2+ R2ro (R1+ R2)2,则 y =C3C23 (1 + C22)C4 1 + C22.根据实际情况 y 的取值应该为 y =C3C23 (1 + C22)C4 1 + C22.从而为了避免车前角与道路相撞, 见图 2-4c, 道路宽度 H 必须满足H Rfo+ y.以上是给出一种判断道路宽度条件的公式, 但是如何选取公式中的 R1, R2来确定具体的道路宽度要求一个困难的问题, 我们暂且在此不去详细求解, 而是利用两组 极限半径来展示道路宽度的最小要求. 取 L = 2.85, W = 1.81, Lf= 1.54, Lr= 1.57, = 6, d = 2.4, L = 2.4, 首先我们取 R1, R2均为最小转弯半径, 也就是车辆最大转 向角对应的半径, 得到此时的最小道路宽度要求为 3.4
