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1、1第九章层流边界层流动第九章层流边界层流动2当雷诺数不太小时，固体壁面上形成很薄的边界层。边界层边界层外部流动 粘性作用可以忽略 涡量为零边界层 强烈的粘性作用 壁面产生涡量尾流区 粘性影响不重要 涡量不为零边界层分离前驻点边界层，粘性影响；边界层分离和尾涡区；涡的产生、扩散和对流。39.1 边界层厚度边界层厚度边界层厚度边界层厚度=y0.99u U=0.99UU4位移厚度位移厚度*从流场中移去的体积流量等于由于边界层存在引起的流量减小。*0*0()1UUu dyudyU=由于边界层影响流量减少量，边界层内流体以 U 运动时的流量，边界层内流体的实际流量，0udy0Udy()0Uu dyaab
2、b ( )yuu = 0*Uu = 0Uu99. 0=UU5动量厚度动量厚度引起的动量亏损等于由于边界层存在引起的动量减小，200()1Uu Uu dyuudyUU=通常*由于边界层影响动量减少量，0()u Uu dy边界层内流体以 U 运动时的动量，边界层内流体的实际动量，0Uudy0uudy6()00000d ddd1dUu yuuyyyUU uyU=22002000dd dd1dUUu yuyuuuuyyyUUUU=位移厚度与动量厚度位移厚度与动量厚度U xL边界层外沿流线由于存在边界层，边界层外流线沿y方向偏移7/1, x?边界层前缘区域除外；在边界层内粘性力和惯性力具有相同量级。两个
3、基本假设两个基本假设11, , uUxxy vvuUvUyxxx 9.2 边界层方程9.2 边界层方程本节推导适用于平板边界层或曲面边界层（ 远小于曲面曲率半径)。yUx8定常平面流动的定常平面流动的 N-S 方程的量级分析方程的量级分析222222222222222211uupuuuvxyxxyUUUU xxxvvpvvuvxyyxyUUUU x xx xxxx+= += +, uUvUxxx 9222222221 1 Re11 Re1UUu xxxUUxxxUxUx xx =?粘性项的比较，删去粘性项与惯性项具有相同的量级，随增大而增大；， 的假设相应于x 方向动量方程量级的比较方向动量方
4、程量级的比较222222221uupuuuvxyxxyUUUU xxx+= +22 1 Rexxx UxU10x 方向动量方程量级的比较方向动量方程量级的比较22/ 1pxxuupuuvxyxy+= +是被动力，起调节作用，它的量阶由方程中其他类型力中的最大量级决定。方向动量方程可简化为，222222221uupuuuvxyxxyUUUU xxx+= +1110 ( )yxxppp xy= =方向方程每一项均是 方向方程相应项的 / 倍, 可以忽略，y方向动量方程量级的比较方向动量方程量级的比较222222221vvpvvuvxyyxyUUUU xxxx+= +压强与 y 无关，边界层内压强沿
5、 x 方向的分布与外流压强沿 x 方向的 分布相同。222222221uupuuuvxyxxyUUUU xxx+= +12212 1pUCdpdUUdxdx+=由于边界层外为势流，引用势流伯努利方程，p 与与 U 的关联的关联13220 ( ,0)0( ,0)0( , ) N-S uv xyuudUuuvUxydxyu xv xu xU+=+=+= =边界条件方程是椭圆方程，而边界层方程则是，抛物方程。小结小结边界层内的N-S方程可简化为，1422const. 0 0( ,0)0( ,0)0( ,) dUUdx uv xyuuuuvxyyu xv xu xU=+=+= =，边界条件，9.3 平
6、板层流边界层的布拉修斯解9.3 平板层流边界层的布拉修斯解1）平板层流边界层微分方程1）平板层流边界层微分方程220 uv xyuudUuuvUxydxy+=+=+151122121212()0.4 ,()0.4 ,()()nnnnxxu yUxx , u yUyyu yu y xxUUuyuy UxUx =抛物方程，无特征长度，两个自变量存在相似解 ,当只是的函数；如以 和 绘制速度分布图，两个截面的速度剖面将会重合。2）相似解2）相似解yU1x2x1y2y2121,xx yy161/2 /( )( ) /( ) /( )y xu UfuUfUx Uy x UUx ffdy=相似变量：为无量
7、纲量。令则有3）相似变量和流函数3）相似变量和流函数172222323, ,uvyxuuuuvxyyyx yxyy= += 流函数自动满足连续方程。由4）把偏微分方程转化为常微分方程4）把偏微分方程转化为常微分方程1823223323/22222, 111( )( )()222/22() 222UfyUUUffyxyxUyUfUx fffxxxxUUUyUffx yxxUUUUf ffffffxxxx =+= = =代入动量方程，2102Uffxfff=+=( ), /yUx fx U=22323yx yxyy= ( ) xyf方程中未出现 或 ，是 的常微分方程,存在相似性解假设正确。4）把
8、偏微分方程转化为常微分方程4）把偏微分方程转化为常微分方程19102( ,0)0 (0)0( ,) ( )11() 200 00fffuUfy u xf u xUfUvffxx v xf+= = = = = =（ ， ）（ ）5）边界条件5）边界条件206) 方程求解6) 方程求解10, 2(0)(0)0( )1301-305ffffff+= =，级数解和数值解；两点边值问题的求解,参阅吴望一，流体力学,下册, 页。217) 平板边界层函数7) 平板边界层函数)(fUuyfffxU=0 0 0 0.332064.4 2.69238 0.97587 0.03897 5.0 3.28329 0.9
9、9155 0.01591 5.4 3.68094 0.99616 0.007938.0 6.27923 1.00000 0.000018.4 6.67923 1.00000 0.00000 .22uUUfyyx =228) 边界层厚度8) 边界层厚度5.0 0.995.0/ 5.0, ReReufUx U Ux x =由数值计算结果，时，/y x U=2323020 2( ,0)( ,0)(0)( )2(0)0.664 /2ReReReuUxxfyyx xf U Ux = =9) 壁面切应力9) 壁面切应力22UUfyx =2410) 壁面总摩擦力和总摩擦力系数10) 壁面总摩擦力和总摩擦力系
10、数2 000 2200( )/2( )/10.664 /2/2/ 1.328 RexDDxxD DDFx dxC x UxFxdxCdxUxUxUxC =0 2( )0.664 /2Rex U =2511) 位移厚度11) 位移厚度*00*1(1)lim( )(8.46.679)1.7211.721 ReuxxdyfdfUUUxx UUx=/y x U=2600000*1(1) (1)|22(0)0.664 ReuuxdyffdUUUxxxffff df dfUUUx=+=yu y00 yu y=u/ y=0最小压强点 速度拐点先发生在物面上， 沿物面向下游移动，拐点向外边界挪动；当拐点靠近物
11、面时，整个速度剖面保持 ，所有流体质点沿流动方向前进；拐点外移，速度剖面变得愈加瘦削，拐点外移至某一位置时就会在物面的某一点上出现 ()，从此点后向下游(0yu/ y=（设傅立叶积分形式的扰动流函数，扰动的幅度；式中 为正实数,代表波数,；扰动随时间变化，； 为复数, ，扰动放大； ，扰动衰减； 中性稳定；表示扰动波在 方向的传播速度大小。扰动流函数扰动流函数( )( )( )( )ReImImRe+=icicti ctc tic teeee872()024()024)() (2)(2)ix ctix cti ci ViVededVcVi + = + = +将上式代入流函数方程，（上式对任意波
12、数 都成立，因此式中的被积函数应为零，(Orr-Sommerfeld方程方程)0( , , )( )ix ctx y ty ed=（22244422242242d VVtxxydyxyxyx+=+88Orr-Sommerfeld方程求解方程求解24)(2)( , 0, )( , 0, )0( , , )( , , )0(0)=(0)0( )=( )0VcViu xtv xt u xtv xtc = += =(在物面上和边界层外边沿,扰动速度为零，以流函数表示上述边界条件，上述方程是对时间常数 的特征值问题，Vc已知 、。)0( , , )( )ix ctx y ty ed=（8924)(2)(0)=(0)0( )=( )0VcVi = += =(四阶常微分方程应有四个线性独立的解，方程一般解式中 ci为任意常数。上述解应满足
