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1、1灿烂在六月灿烂在六月博才教育 2015 年高三数学迎新年测试卷（一）考生注意： 1. 本试卷共 7 页，23 道试题，满分 150 分.考试时间 120 分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非 选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对 后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一一、填空题填空题（本大题共有本大题共有 14 题题，满分满分 56 分分）只要求直接填写结果只要求直接填写结果，每个空格填对得每个空格填对得 4 分分，否则否则 一律得零
2、分一律得零分.1. 函数2( )log1f xx的定义域为_2. 行列式30cos30sin15sin15cos的值是_3. 若21lim2 nbnann，则ba_4.mxmxf1 ) 1()(是幂函数，则m_5. 已知函数2log,0,( )2 ,0.xxxf xx若1( )2f a ，则a _6. 某校选修篮球课程的学生中，高一学生有 30 名，高二学生有 40 名，现用分层抽样的方法在这70 名学生中抽取一个容量为 n 的样本， 已知在高一学生中抽取了 6 人， 则在高二学生中应抽取_人7. 二项式6 2)2(xnx 的展开式中的常数项为 15，则实数n的值为_8. 一个圆锥和一个半球有
3、公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是_9. 无穷等比数列 na的首项与公比分别是复数i312（i是虚数单位） 的实部与虚部， 则数列 na的各项和的值为_210. 已知离散型随机变量x的分布列如表一若0,1ED，则符合条件的一组数( , , )a b c 11. 已知函数) 10()(aaaxfx且满足)3()2(ff，若)(1xfy是)(xfy 的反函数， 则关于x的不等式1)11 (1xf的解集是12. 在周长为 16 的PMN中，6MN，则 PNPM的取值范围为13. 用)(AC表示非空集合 A 中的元素个数，定义 )()(),()()()(),
4、()(|BCACACBCBCACBCACBA若2 , 1A，|32|2axxxB，且1| BA，则a_14. 如图所示，函数( )yf x的图象由两条射线和三条线段组成若对于任意Rx， 都有( )(12 sin )f xf xa， 其中 a0，02， 则的最小值为二二、选择题选择题(本大题共有本大题共有 4 题题，满分满分 20 分分) 每小题都给出四个选项每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项其中有且只有一个选项是正确是正确 的，选对得的，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分.15设 a1b0，则下列不等式中正确的是（）A11lglgabB11 lnlnabC(-a)7(-a
5、)9Db- 9b- 7表一x1012()Pxabc1 12316 张丘建算经卷上第二十二题为：今有女善织，日益功疾，且从第 2 天起，每天比前一天 多织相同量的布，若第 1 天织 5 尺布，现在一月（按 30 天计）共织 390 尺布，则每天比前一天 多织尺布（）A12B8 15C1629D16 3117将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星如图所示的正六角星是以原点O为中心，其中yx,分别为原点O到两个顶点的向量若将原点O到正六角星 12 个顶点的向 量 ， 都 写 成 为a xb y 的 形 式 ， 则ab的 最 大 值 为（）A
6、2B3C4D 518已知函数31,0( )log,0kxxf xx x，下列关于函数1 ( )2yf f x零点个数的四个判断：当 k0 时，有 3 个零点；当 k0 时，有 4 个零点；当 k0 时，有 1 个零点则正确的判断是（）ABCD三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 74 分）解答下列各题必须写出必要的步骤分）解答下列各题必须写出必要的步骤19 （本小题满分 12 分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为cm10的圆形包装纸包装要求如下： 正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合， 包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点
7、（如图所示） ，假设正三棱锥的底面边长为xcm，试用含x的表达式表示体积3Vcm，并指明其定义域.420 （本小题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）图 1 是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图 2 所示的模型，其中桥塔AB、CD与桥面AC垂直，通过测量得知=50ABm，=50ACm，当P为AC中点时，=45BPD。.(1) 求CD的长；(2) 试问P在线段AC的何处时，BPD达到最大.图 1CADBP图 2521 （本小题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）已知
8、函数( )yf x，若在区间( 2,2)内有且仅有一个0x，使得0()1f x成立，则称函数( )f x具有性质M.(1)若( )sin2f xx，判断( )f x是否具有性质M，说明理由；(2)若函数2( )221f xxmxm具有性质M，试求实数m的取值范围.622 （本小题满分 16 分，第 1 小题满分 2 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）已知对任意平面向量),(yxAB ，将 AB绕其起始点沿顺时针方向旋转角得到向量)sincos,sincos(yxyxAP ， 叫做点B绕点A沿顺时针方向旋转角得点P.(1) 已知平面内点)2 , 1 (A，点)222 ,21
9、 (B，将点B绕点A沿顺时针方向旋转4得到点P，求点P的坐标；(2) 设平面内曲线423322xyyx上的每一点绕坐标原点O沿顺时针方向旋转4得到的点的轨迹是曲线C，求曲线C的方程；(3) 过(2)中的曲线C的焦点的直线l与曲线C交于不同的两点BA、，当 OBOA0时， 求AOB的面积.723 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）对于项数为m的有穷数列na，记123max ,(1,2,3,)kkba a aakm，即kb为123,ka a aa中的最大值，则称 nb是na的“控制数列” ， nb各项中不同数值的个数称为na的“控制阶数”.(1) 若各项均为正整数的数列na的控制数列 nb为1,3,3,5，写出所有的na；(2) 若100m ，2 natnn，其中1 1( , )4 2t ， nb是na的控制数列，试用t表示112233100100()()()()babababa的值；(3) 在1,2,3,4,5的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为 2 的所有数列，求它们的首项之和.
