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1、二、 导数应用习题课一、 微分中值定理及其应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 中值定理及导数的应用第四章 拉格朗日中值定理 一、 微分中值定理及其应用 1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态(2) 证明恒等式或不等式(3) 证明有关中值问题的结论机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 有关中值问题的解题方法利用逆向思维 , 设辅助函数 .一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以
2、上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .多用罗尔定理,可考虑用 柯西中值定理 . 必须多次应用 中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 设函数在内可导, 且证明在内有界. 证: 取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理, 得(定数)可见对任意即得所证 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设在内可导, 且证明至少存在一点使上连续, 在证: 问题转化为证设辅助函数显然在 0 , 1 上满足罗尔定理条件, 故至 使即有少存在一
3、点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3.且试证存在证: 欲证因 f ( x ) 在 a , b 上满足拉氏中值定理条件,故有将代入 , 化简得故有即要证机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 设实数满足下述等式证明方程在 ( 0 , 1) 内至少有一个实根 .证: 令则可设且由罗尔定理知存在一点使即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 f (x) 在0, 3 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 分析: 所给条件可写为(03考研) 试证必存在 想到找一点 c , 使证: 因 f (x) 在0, 3上连续, 所以在0, 2上连续, 且在0
4、, 2上有最大值 M 与最小值 m, 故由介值定理, 至少存在一点 由罗尔定理知, 必存在 例6. 设函数在上二阶可导,且证明证:由泰勒公式得两式相减得机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、 导数应用1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题3. 其他应用 :求不定式极限 ;几何应用 ;相关变化率;证明不等式 ;研究方程实根等.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的连续性及导函数例7. 填空题(1) 设函数其导数图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点
5、为 .提示:的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ;.在区间 上是凸弧 ;拐点为 提示:的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 (2) 设函数的图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 证明在上单调增加.证:令在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束 故当 x 0 时,从而在上单调增.得例9. 设在上可导, 且证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证: 设则故在上连续单调递增, 从而至多只有一个零点 .又因因此也至多只有一个零点 .思考: 若题中改为其它不变时, 如何设辅助函数?机动
6、目录 上页 下页 返回 结束 例10. 求数列的最大项 .证: 设用对数求导法得令得因为在只有唯一的极大点因此在处也取最大值 .又因 中的最大项 .极大值机动 目录 上页 下页 返回 结束 列表判别:例11. 证明证: 设, 则故时, 单调增加 , 从而即思考: 证明时, 如何设辅助函数更好 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示:例12. 设且在上存在 , 且单调递减 , 证明对一切有证: 设则所以当令得即所证不等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例13. 证: 只要证机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用一阶泰勒公式, 得故原不等式成立.例14. 证明当 x 0 时,证: 令则法1 由在处的二阶泰勒公式 , 得故所证不等式成立 .与 1 之间)机动 目录 上页 下页 返回 结束 法2 列表判别:即机动 目录 上页 下页 返回 结束 法3 利用极值第二判别法.故也是最小值 ,因此当时即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例15. 求解法1 利用中值定理求极限原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法2 利用泰勒公式令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法3 利用罗必塔法则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数在上具有n 阶导数,且则当时证: 令则利用在处的 n 1 阶泰勒公式得因此时定理.机动 目录 上页 下页 返回 结束
