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1、1初三奥赛班数学难题训练25（本题满分 12 分）如图， 二次函数mxmxy+=)14(412（m+mmxmmx3002154. 130054%)201(0300(解得773197x100。注：写 97. . . .5x100 或 97. . . .4x100 均视为正确x为整数x只能取 98、99、100。 故共有三种调配方案： 202 人继续生产 A 种产品，调 98 人生产 B 种产品； 201 人继续生产 A 种产品，调 99 人生产 B 种产品； 200 人继续生产 A 种产品，调 100 人生产 B 种产品；又mxmxy54.1%)201)(300(+=mmx36034.0+， 由
2、于m34.00， 函数y随x的增大而增大。故当x100，即按第三种方案安排生产时，获总利润最大。 （3 3 3 3）当m2 时，最大总利润为 788 万元。根据题意，可投资开发产品 F、H 或 C、D、E 或 C、D、G 或 C、F、G。11初三奥赛班数学难题训练30、已知：如图 1，直线 y=kx+3(k0)交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 A，以 A 点为圆心，AB 为 半径作A 交 x 轴于另一点 D，交 y 轴于点 E、F 两点，交直线 AB 于 C 点，连结 BE、CF， CBD 的平分线交 CE 于点 H. （1）求证：BE=HE；（2）若 AHCE，Q 为 BF上一点，连结 D
3、Q 交 y 轴于 T，连结 BQ 并延长交 y 轴于 G，求 ATAG 的值； （3）如图 2, P 为线段 AB 上一动点(不与 A、B 两点重合)，连结 PD 交 y 轴于点 M，过 P、M、B 三点作O1交 y 轴于另一点 N，设O1的半径为 R，当 k=34时，给出下列两个结论：MN的长度不变；MNR的值不变.其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值.O1PNMODBAxyQOHGFEDCBAxyT1224（本题满分 12 分）如图 15，点P在y轴上，P交x轴于AB，两点，连结BP并延长交P于C，过点C的直线2yxb=+交x轴于D，且P的半径为5
4、，4AB=（1）求点BPC， ，的坐标； （2）求证：CD是P的切线；（3）若二次函数2(1)6yxax= +的图象经过点B，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数2yxb=+值的x的取值范围 xy图 151330、 证明：(1)AEBD， BE=DE， EBD=ECB.ABH=DBH，BHE=ECB+CBH，HBE=DBH+EBD，BHE=HBE. BE=HE. 解： (2)连结 QC、TB，则BCQ+CBQ=90，又BDQ+ATD=90，而BCQ=BDQ，CBQ=ATD=ATB， ABGATB， AB2=AGAT， AHCE， H 为 CE 的中点， BE=1 2EC，BE
5、OCBE， OEBO=BEEC=12. 设A 的半径为 R， 由 AB2OA2=BO2， OE=R3， 得 R232=4(R3)2，解得，R=5，或 R=3(不合题意，舍去).ATAG=AB2=25.(方法二提示:可连结 AD,CD 证BAGTAD)(3)答：MNR的值不变.证明：作 O1KMN 于 K，连结 O1N、PN、BM，则 MN=2NK， 且N O1K=NPM，MNR=2NKO1N=2sinNO1K=2sinNPM， 由直线 y=34x+3 得 OB=OD=4，OMBD，BMO=DMO， 又BMO=ABM+BAM，DMO=MPN+PNM，ABM=PNM，MPN=BAM=NO1K，MN
6、R=2sinBAM=2BOAB=8 5，所以MNR的值不变，其值为8 5.24、解：（1）如图 4，连结CA OPAB2OBOA=1 分222OPBOBP+=25 4 1OP= =，1OP= 2 分BC是P的直径90CAB=（也可用勾股定理求得下面的结论）CPBP=，OBOA=22ACOP=3 分(2 0)B，(01)P，( 2 2)C ，（写错一个不扣分）4 分（2）2yxb=+过C点6b=26yx=+5 分当0y=时，3x= ( 30)D ，1AD=6 分21OBACADOP=，90CADPOB= =DACPOBDCAABC= 90ACBCBA+ =90DCAACB+=（也可用勾股定理逆定
7、理证明） 7 分DC是P的切线8 分（3）2(1)6yxax= +过(2 0)B，点202(1) 26a= +2a= 9 分26yxx= + 10 分O1PNMODBAxyK14初三奥赛班第二周数学难题训练初三奥赛班第二周数学难题训练 24（本题满分 12 分） 已知抛物线 y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关 系式； (2)设 A 是(1)所确定的抛物线上位于 x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 D，再作 ABx 轴于 B，DCx 轴于 C. 当 BC=1
8、时，求矩形 ABCD 的周长； 试问矩形 ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指 出此时 A 点的坐标；如果不存在，请说明理由1523（本题满分 11分） 如图 16，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的面积为 15，边 OA 比 OC 大 2 E 为 BC 的中点，以 OE 为直径的O交x轴于 D 点，过点 D 作 DFAE 于点F（1） 求 OA、OC 的长； （2）求证：DF 为O的切线； （3） 小明在解答本题时，发现AOE 是等腰三角形由此，他断定：“直线 BC 上一定存在除点 E 以外的点 P，使AOP 也是等腰三角形，且点 P 一定在 O外”你同意他的
9、看法吗？请充分说明理由 解：解：图 16 y O C B A E D F x 1624、解：（1）由已知条件，得：n21=0解这个方程，得： n1=1 ，n2=1；当 n=1 时，得 y=x2+x，此抛物线的顶点不在第四象限；当 n=1 时，得 y=x23x，此抛物线的顶点在第四象限；所求的函数关系式为 y=x23x(4 分)(2)由 y=x23x，令 y=0，得 x23x=0，解得 x1=0 ，x2=3；抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0）它的顶点为（49,23），对称轴为直线x=23BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知 OB=()11321=B（1，0）点 A 的横坐标 x=1，又点
10、A 在抛物线 y=x23x 上，点 A的纵坐标 y=1231=2。AB=|y |=2矩形 ABCD的周长为：2（AB+BC）=6(8 分)点 A 在抛物线 y=x23x 上，可以设 A 点的坐标为（x，x23x），B 点的坐标为 （x，0）。（0x23BC=32x，A在 x 轴的下方，x23x0AB=| x23x |=3xx2矩形 ABCD的周长 P=2（3xx2）+（32x）=2（x21）2+213a=20当 x=21时， 矩形 ABCD的周长 P 最大值是213。 (12 分)23、解：（1）在矩形 OABC中，设 OC=x则 OA=x+2，依题意得(2)15x x+=解得：123,5xx
11、= 25x= （不合题意，舍去）OC=3，OA=5(4分)（只要学生写出（只要学生写出 OCOC3 3，OAOA5 5 即给即给 2 2 分）分）（2）连结 OD在矩形 OABC 中，OC=AB，OCB=ABC=900，CE=BE=5 2 OCEABEEA=EO1=2在O中， OO=OD1=33=2ODAE，DFAE DFOD又点 D 在O上，OD 为O的半径 ，DF 为O切线。(8 分)(3)不同意. 理由如下:2525当 AO=AP时，以点 A 为圆心，以 AO为半径画弧交 BC 于 P1和 P4两点过 P1点作 P1HOA于点 H，P1H = OC= 3，A P1= OA= 5A H=
12、4， OH=1求得点 P1（1，3）同理可得：P4（9，3） (9 分)当 OA=OP时，同上可求得:：P2（4，3），P3（4，3） (11 分)因此，在直线 BC 上，除了 E 点外，既存在O内的点 P1，又存在O外的点 P2、P3、P4，它们分别使AOP为等腰三角形。 (12 分)图 16 O C B A E D F yx x x x P3 P1 P2 P4 H 1 3 2 17初三奥赛班数学难题训练初三奥赛班数学难题训练1.如图，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且 AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证：E点在y轴上； (2
13、) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k0)个单位，此时AD与BC相 交于E点，如图，求AEC的面积S关于k的函数解析式.图C（1，-3）A （2，-6）BDOxEy图C（1+k， -3）A （2，-6）BDOx Ey182.已知：如图，在直线坐标系中，以点 M（1，0）为圆心、直径 AC 为22的圆与 y 轴交于 A、D 两点. （1）求点 A 的坐标； （2） 设过点 A 的直线yxb 与x轴交于点B.探究： 直线 AB是否M 的切线？ 并对你的结论加以证明；（3）连接 BC，记ABC 的外接圆面积为 S1、M 面积为 S2，若421h SS=，抛物线 yax2bxc 经过B、M 两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求
