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1、麻省理工 Guido Kuersteiner 经济学院 时间序列 14.384 第二讲笔记第二讲笔记 平稳过程平稳过程 在本讲中我们关注狭义平稳过程模型，重点在于线性过程。金融时间序列的固定格式 具有明显的限制。 然而线性时间序列通常是非线性模型的基石， 同时线性模型容易精确处理 并具有明确优良的特征， 以下将对此展开讨论。 我们可以把线性时间序列模型定义成具有常 系数的线性差分方程。 我们从介绍一些例子入手。随机过程最简单的例子只含有一个独立的观测值。从二阶从二阶 角度看，这会转化为不相关。角度看，这会转化为不相关。 例例 2.1（白噪声） 。（白噪声） 。如果 t过程弱平稳，0tE =且自
2、相关函数满足： 则该过程称为白噪声，我们记为2(0,)tWN:。特例即 t满足2(0,)tiid:。 由于白噪声过程是更一般过程的基石，所以它非常重要。考虑一下两个例子： 例例 2.2（移动平均） 。（移动平均） 。如果 tx过程平稳且： t为白噪声，则 tx过程称为一阶移动平均或 MA（1） 。我们立即有xx22（0）= （1+），xx 22（1）=。并且对1h ，0xx（h）=。如果我们考虑了接下来的自回归过程，则会出现稍微更复杂一点的情形 例例 2.3（自回归） 。（自回归） 。如果 tx过程平稳且满足随机一阶差分方程： （2.1） t为白噪声，则该过程称为一阶自回归或 AR（1） 。
3、重复迭代（2.1） ，我们得到： 根 据 平 稳 性 ，2 t kEx为 常 数 ， 并 且 若1 ，时，tx的所有值唯一可以根据递归应用（2.5）得到。 根据代数学的基本结论， 我们知道方程( )0L=有p个可能的复根， 因此我们可以记为： （2.6） 其中,1,iij= L是( )L的j个相异根，而ir为其i重根，因此足以求解( ) i tx，这样1( )(1)0iri itLx=。于是根据（2.6）有( )( )0i tL x=，我们由此可以得到下面的结论。 引理引理 2.4 函数(k)kt tht =，k0,1,j 1=L为下列差分方程的线性独立解： 证明：对j1=，我们有： 对j2=
4、，我们从上式可以得到：12t(1L)0=和： 类似地，对j2，重复代入可以得到： 其 中1k- 1b ,bL为 常 数 。 最 后 我 们 注 意 到 因 为 如 果 当0,1,1tk=L时 ，1 011()0kt kcctct +=L成立，则自由度为 k- 1 的多项式1 011()k kcctct +L有 k个零解，这当1,0kcc =L都成立，所以( )k th是线性独立解。 引理 2.4 说明( )0tL x=有 p 个解nt it ，0,1,1,1,inrij=LL。则（2.5）的普通解为： （2.7） 同样p个系数inc也由p的初始条件决定。如果p个解nt it 都线性独立，则系数
5、也唯一。所以，如果对0,1,2,t =L 则有, ,0ini n c=。证明见 Brockwell 和 Davis（1987） ，第 108 页。 2.3( , )ARMA p q（自回归移动平均）模型的自协方差函数（自回归移动平均）模型的自协方差函数 在这一节我们用上述结果分析( , )ARMA p q模型的特征。( , )ARMA p q过程定义见下。 定义 2.5. 如果 tx过程平稳且每一个 t，有： （2.8） 则称 tx过程为( , )ARMA p q。 运用滞后多项式，我们可以得到一个更为简练的形式。令： 并且： 这时（2.8）可以写成( )( )ttL xL=。求出该模型的其他
6、表达式非常有用。鉴于此，我们介绍以下概念。 定义定义 2.6.如果存在序列0ii =满足i 的功效序列展开式为： 上式暗含随着j ，(1/2)0j je+，这样存在一个有限正常数 K 使得(1/2)j jKe，则初始条件的个数将大于差分方程独立解的个数。在这种情况下，前1qp+个自相关系数将由前1qp+个初始条件决定。该差分方程组的普通解由（2.7）得到，对max( ,1)hp q+ 其中i是AR多项式( ) z的相异根，inc是由初始条件（2.10）决定的p个系数。协方差( ),0max( ,1)xxhhp qp并且12。假设21 . . .wl g =。根据11 112=+和11 212
7、= 可得到自回归系数。这样我们有01 =和11 112=+，于是边界条件为： 现在，用普通解0h ，1 122( )hhhcc=+和边界条件进行替代： 上式用前定系数的形式完整地表达出了协方差函数。用普通解进行替代，得到： 另外一个有趣的问题是当12, 取何值时，根在单位圆外。对12, 解11 12,得到： 其中如果211= ，1 1,21=以及如果211= +，1 1,21= 。如果 12 240+ 我们发现对滞后高于h的量， AR(p)过程得偏相关系数为 0。下一个例子将考虑(1)MA过程由于可逆，所以该过程可以表示成( )AR 。因此我们希望偏相关逐渐减少消失而不是在限定的滞后处断裂。事
8、实也是如此。 练习练习 2.1 令tx来自(1)MA过程 于是我们从前面的讲述知道2(1)(1)/(1)= +， 。等式（2.12）现在变为： 于是ik是以下差分方程的解： 初始条件为： 终止条件为： 差分方程可以写成根为和1/的22 i(1 (1)/ LL )0+=形式。于是普通解为- i12ccii=+。代入初始和终止条件可以解得常数1c和2c，特别地有： 由于终止条件，常数取决于 k。终值kk可以从代回普通解中求出，即得： 我们从自协方差函数的两个例子和结果中可以看出AR多项式的最高阶由偏相关为零的点决定，MA多项式的最高阶由自协方差函数相同的方式决定。 因此， 识别ARMA(p,q)模型的正确表达式的方法可以从观察某过程的自相关和偏相关函数着手。 明显对一个一般模 型， 这些函数的衰减模式是非常复杂的。 因此通常难以通过观察自相关和偏相关函数的经验 相似形态就正确表达式达成一个明确的意见。 练习练习 2.2 求tx的偏相关函数，其中 并且t为白噪声。
