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1、把握课程标准 注重导向功能3 高考“ 导数 ” 试题命题的分析与思考曾建国 曹 新(赣南师范学院数学与计算机系,江西 赣州 341000)“ 导数 ” 是高中数学新课程实施以来新增内容之一,其目的是,在中学数学课程中渗透微积分的思想方法.虽然导数属选修内容,但近年来,有关导数的试题已成为高考的一个热点,文理科每年必考导数题.由于数学高考试题对中学数学教学起着独特的导向作用,因此,如何命制导数试题才更为科学合理、更能体现新课程标准的考查要求,是一个重要的研究课题.本文就此对近几年有关导数的高考试题进行分析,谈谈笔者的一些粗浅看法.1 注重导向性 体现新课程标准在 普通高中数学课程标准 1中,导数
2、部分主要内容(选修1 - 1)有: (1)导数概念及几何意义; (2)导数的运算; (3)导数在研究函数中的应用(如单调性、 极值等); (4)生活中的优化问题(最值问题).其考查目标在于使学生初步了解导数知识(如直观意义、 导数公式) ,掌握“ 导数 ” 这一高等数学的思想方法,使学生在研究函数的单调性、 极值等问题时,求解方法更加便捷、 科学,而不在于追求导数的形式化定义,对导数的应用方面不应在技巧、 难度上去深化.把握上述标准,命题时就不至于出现偏、 难、 繁的情形.近年来的高考试题都坚持了这一正确的导向.例11如图1,直线l和圆C,当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过9
3、0)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数,它的大致图像是( ).分析与解 此例一方面要求学生对实际问题中面积S与时间t的函数关系能用图形来直观刻画,考查了函数图像;另一方面考查学生对于“ 导数就是函数变化率 ” 的理解,并能根据导数的几何意义 切线斜率来进行综合判断:由于面积增加的速度最快显然在中途(直线经过圆心时) ,因此曲线中点处的切线斜率应最大,正确答案是(D).例2 (2002年高考(新教材)理科20题)已知a0,函数f(x)=1 -ax x, x(0,+) ,设0 0,求函数f(x)=x- ln(x+a) (x(0,+) )的单调区间.例4 (2004年江西理科19题)设a
4、R,求函数f(x)=x2eax的单调区间.例5 (2004全国文科()19题)已知f ( x)=3ax2+6x- 1在R上是减函数,求a的取值范围.例3 例5考查的导数内容仅涉及基本求导公式和利用导数研究函数的单调性.近年来高考试卷中,绝大部分试题都像上述各例一样,难度不大、 考查的知识点是很基本的.由此可知,高考题涉及导数内容时一般不会超出课程标322006年第6期 数 学 教 学 研 究3基金项目:江西省教育科学“ 十五 ” 规划课题(05YB143)准及 考试大纲 规定的考查要求,学生只需掌握了教材中的基本知识与方法,就可以解决试题中有关导数及其应用的问题 因为试题不会(也不应)在导数的
5、应用方面考得太深、 太难.而这也正因为高考试题必须注意其正确的导向作用,并推动新课程改革健康、 有序地发展.2 命制“ 导数 ” 试题须处理好的两个关系2.1 必修与选修关系导数是高中新课程选修系列1、2中的内容,是选修系列中的“ 基础性内容 ”,目前文理科高考考试大纲 中都列在考试范围之内.由于新课程中有“ 必修 ” 与“ 选修 ” 之分,在考查要求上理应体现其差异.新课程标准的必修内容是为学生进一步学习提供“ 必要的数学准备 ” 而设置的,是“ 必要的数学知识 ”,当然应该重点考查;而选修内容是为“ 满足学生的兴趣和对未来发展的需求 ” 、 “ 获得较高数学修养 ” 奠定基础而设置,笔者认
6、为其考查要求不应超过必修内容的要求,而且必须低一层次.因此,在高考及模拟试题中,一方面,为正确引导中学数学教学及新课程的顺利推进,避免出现“ 重必修、 轻选修 ” 的倾向,像导数这一类选修内容中的重点知识必须重点考查;另一方面,考虑到考查要求上的差异,作为选修内容的导数试题一般不宜出现高难度的试题.从2000年开始的新课程试卷命题时,对导数内容的考试要求都是很基本的.虽然在这以后的命题有逐渐加深的趋势,但对必修与选修内容的差别一般把握较准,这对中学数学教学及高考复习起了“ 稳定军心 ” 的作用.相反,如果不能保持相对稳定的命题原则,比如导数试题命题过难,就可能产生不利影响,甚至引起人们的恐慌和
7、不安.这时特别值得一提的是2004年全国高考试卷()的一道题:例6 (2004年全国卷()理科22题)已知函数f(x)= ln(1 +x)-x, g (x)=xlnx,(i)求函数f(x)的最大值;(ii)设0 a时, F( x)0,因此F (x)在x=a时有极小值F (a)=0,故F (b)0,即0 0时, G(x)0.分析与解 运用传统的初等方法,可根据抛物线开口向上,由条件知对称轴须在y轴左侧(此处很容易出错) ,即x= -b 20,得b0,选(A).若运用导数则直截了当:因y= 2x+b,依题设,当x0时须y 0或y 0恒成立.因2x0,所以只有当b0时才有y 0恒成立,选(A).例8
8、 求和S=1 +2x+3x2+nxn- 1(x0,1).分析与解 这是一个常见的数列求和问题,传统方法是“ 错位相减 ”.但应用导数知识有下面简洁的解法:因为(xn)=nxn- 1,则S=(x+x2+x3+xn)=x(1 -xn)1 -x=1 -(n+1) xn+nxn+1(1 -x)2.例9 (2001年全国卷理科20题)已知i, m, n是正整数,且1 (1 +n)m.分析与证明 本例的证明有多种初等方法,但不如导数法简洁明了.显然,不等式(1 +m )n(1 +n)m等价于ln(1 +m )mln(1 +n)n.设f(x)=ln(1 +x)x(x2) ,则f(x)=x 1 +x- ln(
9、1 +x)x2.x2,x 1 +x1,f(x)f(n) ,即 ln(1 +m )mln(1 +n)n,(1 +m )n(1 +n)m.以上各例体现了高等数学方法在解决初等数学问题时的优越性,学习导数知识后使数学解题的方法更加丰富、 灵活、 多样了.高中新课程新增导数等高等数学内容,其目的并非要中学生提前学习全面的大学数学知识,而是让学生开阔视野、 丰富方法.从以上各例可以看出,初等数学问题同样可以考查导数知识及应用,导数试题不一定要在导数运用技巧方面深化.我们在高考命题时应该正确处理好初等数学与高等数学之间的主次关系.3 高考导数新题型探索随着数学高考对导数知识考查的逐渐深入,题型越来越丰富.
10、特别是实行分省自主命题改革以来,试题更是丰富多彩,导数试题出现了各种创新题型.3.1 用初等数学方法解高等数学问题这是命题者常用的一种构思方法.例如,前文例6第(ii)小题不等式: g (a)+g (b)- 2g (a+b 2)0(0f(x1+x2 2).例11 (2005年湖北卷第6题)在y= 2x, y=log2x, y=x2, y= cos2x这四个函数中,当0 f(x1)+f(x2) 2恒成立的函数的个数是( ).(A) 0 (B) 1(C) 2(D) 3.这样命题既保证了试题的新颖性,题目又容易命制.把握这一规律,或许对中学数学教师进行高考复习指导会有所启发.3.2 高等数学新背景下
11、设置问题以高等数学中的有关知识为背景,通过给出定理(设置新的情境) ,考查学生阅读、 理解、 迁移新知识的能力,这是近年出现的又一种新题型.例12 (2004年广东卷21题)设函数f ( x)=x- ln(x+m ) ,其中常数m为整数.()当m为何值时, f(x)0;()定理:若函数g ( x)在 a, b 上连续,且g (a)与g (b)异号,则至少存在一点x0(a, b) ,使得g (x0)=0.试用上述定理证明:当整数m1时,方程f(x)=0在 e-m-m, e2m-m 内有两个实根.这样的试题通过提供信息,设置情景,使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识.这种新颖题型对学生能力
12、的考查是全面的、 综合的.例13 (2005年湖南卷第6题)设f0(x)= sinx,f1(x)=f0(x) , f2(x)=f1(x) , fn+1(x)=fn(x) ,nN,则f2005(x)=( ).(A) sinx (B) - sinx (C) cosx (D) - cosx.此例以高阶导数为背景,考查初等数学的归纳推理能力,试题设计新颖、 颇有创意.3.3 图形信息题培养学生“ 运用图形语言进行交流的能力 ” 是高中数学必修课程的“ 基本要求 ” 之一.对于导数的应用,新课程标准要求“ 能借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系.”在下面的例子中,试题提供图形,考查学生捕捉图形
13、信息并进行综合分析、 推理判断的能力.例14 (2004年浙江卷第11题)设f(x)是函数f(x)的导函数, y=f(x)的图像如图2所示,则y=f(x)的图像最有可能的是( ).我们只要把握新课程标准和高考命题的三个“ 有助于 ” 的原则,注重高考的导向功能,就能在高考命题和高考复习教学中认清正确的方向.参考文献1 教育部,普通高中数学课程标准(实验) M.北京:人民教育出版社,2003.知识与能力并重 思想与方法交融 高考不等式试题赏析何拓程(江苏省射阳中学 224300)不等式在中学数学中是一个十分重要的内容,它内涵丰富,变形灵活,应用广泛,可以渗透到高中数学的各个章节,成为研究数学问题的有力工具.纵观历年来的高考试题,涉及不等式的问题是一个经久不衰的热点,占有相当大的比重.这些试题既测试不等式的基础知识和基本技能,也考查综合运用有62数 学 教 学 研 究 2006年第6期
