《麻省理工大学时间序列讲义384lecture3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《麻省理工大学时间序列讲义384lecture3（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、麻省理工 Guido Kuersteiner 经济系 时间序列 14.384 第三讲笔记第三讲笔记 平稳过程的谱表示法平稳过程的谱表示法 从前面的讲义我们已经知道一个平稳时间序列的独立性质能用自协方差函数 描述。 在附录 B 中，将证明能用谱分布函数的形式表示，如下： 谱分布测度过程的总体方差中归因于一定时间间隔频率的部分。例如，如果我们有月数据，那么一月相当于，两月相当于 ，一年相当于。为了测度由不只一年时间长度的周期性因素所产生的方差，我们可以考虑用表示 。附录 A 讨论了阐明这种解释的简单例子。 如果分布函数有一个密度函数 ，那么（3.1）能被写作 其中是傅立叶变换。此外，如果谱密度属于
2、平方可积空间，那么傅立叶逆变换存在并且由 给定。 这种关系必须保持在，因为 是一个以为基的希尔伯特空间。于是，从（3.2）知道自协方差函数是投射在基本向量上的回归系数。如果，那么 收敛并且其极限几乎处处都是 。 在ARMA模 型 中 ， 事 实 上 有 。 那 么 ， 序 列绝对一致收敛，并且其极限几乎处处都是 。因此，在这种情况下，一般都直接用（3.3）来定义谱密度。 3.1 谱密度的性质谱密度的性质 为了简化论证，我们假定。既然如此，我们能够在傅立叶逼近（3.3）的基础上建立的性质。然而，在这一节讨论的性质只适用于一般平稳过程。如果 是一个实值弱平稳过程， 那么 。 于是， 就得到。 为了
3、证明 ，我们引入下述具有独立重要性的概念。 序列的被定义为前 N 个部分和的平均值。令 并且定义，则有 我们想要证明如果 ，那么 。这能从 Toeplitz 引理得到。 引理引理3.1 （Toeplitz） ：） ： 令 是一个跳跃的序列并且当n趋于无穷时， 。 令 为一组权数并且满足当 n 趋于无穷时，对所有 n 都有 且对所有 i 都有，那么 证明证明：对任意， 都有 并且取这样的 n 使得 ，取 N 使得对于所有的，都 有 。 则有 并且 其中最后的不等式从 。既然 是任意的，那么所要证明的结果就能得到。 设 ，立刻就能得到如果 ，那么 。回到前面的谱密度 如果,那么现在我们就说 。令是
4、的切萨罗平均 ，我们能知道对于所有 n 于是，使得。 最后，我们注意到 。我们把这些结果总结在下面的定理中。 定理定理 3.2 （Spectral Density） ：） ： 如果一个实值弱平稳过程有一个谱密度函数 那么 满 足 我们现在回到 ARMA 模型谱密度的特征。 32ARMA 过程的谱密度过程的谱密度 在这节中，我们将探讨谱密度能通过寻找傅立叶逼近（3.3）得到。在这些情况中，能找到 谱密度的具体的函数形式。一种情况就是古典 ARMA 过程。我们首先考虑线性过程，其中 的谱密度 ，其中 是以 为谱分布函数的 0 均值平稳过程。 我们知道 ，其中 ，于是就有 如果 有一个谱密度函数，那
5、么就有 。这一函数能通过的傅立叶逼近直接得到。此外，我们假定函数是绝对可加的。那么， 傅立叶逼近是 一个过滤的时间序列的谱密度函数的更简洁的方程能通过定义无穷阶滤波的滞后多项式 。现在就得出 现在我们转向 ARMA（p,q）模型的谱密度函数。 定理定理 3.3（ARMA(p,q)Spectral Density）.令 是一个 ARMA(p,q),满足 其中， 没有公共零点 ，并且 有单位圆周外所有的根。有谱密度 证明：证明：首先注意到，其中 。因为 ，所以从上面的结论可以得到 存在且等于 。由前面的定理得知过滤更新有谱密度。同理可得有谱密度函数。因为（ 3.4 ） 的 右 侧 和 左 侧 有
6、相 同 的 协 方 差 和 相 同 的 谱 密 度 ， 使 得。 3.3 线性过滤线性过滤 有时候我们并不想分析初始序列，只希望分析其滤波形。主要的例子都能在商业周期的文 献中找到，其中商业周期常常被定义为围绕一个趋势波动。在此，我们考察线性滤波的一些 性质。 例如， 一个时间序列的一阶差分能看成一个线性滤波。 令是原始序列， 是 过滤序列。那么 其中，其它的有。 因此，更一般地，我们能够找到一个滤波，其中我们要求 。我们已经知道过滤序列的谱密度函数和原始序列的谱密度函数有如下关系： 其中， 叫做这一过滤序列的频数响应。 叫作功效转移函数。直观地，这个函数决定了这一（功效）频谱如何通过过滤而改
7、变。控制一个周期组成振幅的因素通过频数响应函数的系数来测度。这一术语叫做增益。 滤波改变一个时间序列的另一方法是变换这一序列。这叫做相位变换。令 且定义， 那么推出 于是，就称 是一个相位变换。对于 的一个对称滤波就没有相位变换，例如，因为从可得。我们考察一个简单的滤波，这一滤波滞后一期，例如， 那么，并且增益为，相位变换为 。 因此这一相位就是在时域中的变换测度。 现在，我们来看更符合实际的一些滤波。K 期差分滤波 有一个频数响应。因此，增益是， 并且这一相位是 双向移动平均滤波由 确定。那么 在商业周期文献中更普遍的是 HP 滤波。在时域中，它由于下述平滑问题而产生 如果 ，那么并且没有平
8、滑发生。如果 ，那么通过平方轨道误差测度以及在增长率方面的强烈变化而纠错， 被选定尽可能接近 。 如果我们忽略例子开头以及结尾的细节，那么一阶条件就能写成下面的形式： 就这样，解出 并且使用了滞后算子表达式 因此， 的平滑形由 确定。 叫作趋势分量 ，叫作周期分量 。于是，我们得到 过滤过程的频数响应由 来给定。现在 ，增益能被分析。对于 ，我们有 此外，如果 非常大，当不接近 0 时，就有 。这就说明了这一滤波过程有某些的优化性质。它不影响短期频数，而移动长期频数。 A.谱测度的说明谱测度的说明 在第 2 讲中，我们已经考察了如下形式的线性过程： 其中， 是一个白噪声随机变量序列。接下来，我
9、们证明了每一个弱平稳过程都能用这种形式表示。在此，我们关注弱平稳过程的一种可供替代的表示。这种表示法叫做谱 表示法。 首先，我们假定 由一复值随机过程 所确定，其中 而且是一个无关的复值随机变量，使得对于所有的有， 。如果对于所有的 ， 都有，那么 是实值的。为了得出这一点，把 带入，对于所有的以及，都有 ，。此外，对于所有的 ， ，都有 。利用棣莫弗公式 推出 其中，复形式不存在了，因为， 。(A.1)的另一表达法是： 其中，是的振幅， 是 的相位。从这个表示式我们可以知道是以为随机振幅，以 为随机相位变换的不同 余弦波的和。 现在， 的自协方差函数由 和 给定，使得。 如果我们考察生成机制
10、（1） ，现在我们就能把解释成频数对总体方差的贡献。这说明了，当 非常大时，和频繁地完成它们的周期性波动。不失一般性，我们把序列按 进行排序。我们引入阶梯函数 。这一函数叫做谱分布函数，规定如果，以及。那么分布函数由 斯蒂阶积分定义。这一函数能被更清晰地写作 因此，我们能用斯蒂阶积分的形式写 和 其中，我们用到了棣莫弗定理： 。这就证明了每一个零均值平稳过程有个由（A.1）概括的表达式，即 其中 是一个正交增量过程，使得，并且当， 使得， 。然后，分布函数就能定义成当，；当，;当，。 B.谱测度存在性的证明（严格地优化）谱测度存在性的证明（严格地优化） 在这一附录中，我们证明 0 均值平稳过程
11、的协方差函数能用谱分布函数表示。在证明之前， 我们需要引入一些新的概念。 定义定义 B.1. 对于所有的跳跃函数和连续函数 f,如果 则概率测度序列 依概率 P 弱收敛。 定义定义 B.2. 如果一测度概率族包含一个依概率弱收敛的子序列，那么就说这一概率测度族 是相对紧的。 注注 1. 子序列不必收敛到原类中的一个元。这就是收敛被称作相对的原因。 定义定义 B.3 如果对于每一个 都有一个紧集 ，使得 那我们就说这一测度概率族是紧密的。 定理定理 B.4(Prokhorov).令 是定义在上的一概率测度族。 那么， 当且仅当它是紧密的时， 是 相对紧的。 现在，我们证明（3.1） 定理定理 B
12、.5(Herglotz).令是 以零为均值平稳随机序列的协方差函数，那么，就有一个有限测度 使得 证明：对于 ， 令 因为由 的定义是非负的，则我们得知 。值得注意的是，当 ，不一定收敛。我们可以写作 并且，对于 函数是不减的， 右连续的且有左极限的， 并且， 。 那么 ，有对 于 ， 测 度在都 成 立 且 对 于 所 有 的 ， 有。因此，由 Prokohorov 定理可知，测度族是紧密的且相对紧致的因此，这就存在一个子序列 使得 ，其中指的是弱收敛。然后就能得到 注注 2： 这个定理的复杂在于我们只假定了平稳过程。 此外， 如果我们加入 ，那么当 ， 收敛。因为 ，由控制收敛定理可知。
13、接下来的两个结果关注的是傅立叶逼近收敛于谱密度的形式。为了证明当，傅立叶逼近几乎一定收敛于谱密度函数，我们首先证明下述命题。 命 题命 题 B.6 如果 且 ，那么几乎处处都有。 证明证明：通过分类论证，对于 的所有子区间我们都能证明 。令 是区间 上的特征函数。很显然， 。因为 的有限线性组合是在上是稠密的，这里就有一个 ，使得对于都有。那么， 由于 是大于 0 的任意数，于是我们得到结论。 定理定理 B.7.如果谱密度 ，那么几乎处处都有 证明：证明：空间是一个以希尔伯特内积空间，其内积满足对所有有 。函数在 上形成一个正交基。这能通过验证 以及使用魏斯特瓦尔斯定理证明在 上， 无穷线性组合是稠密的而得知。 通过贝塞尔不等式，我们有 。于是 这 就 证 明 了 是 一 个 柯 西 序 列 ， 因 此 ， 有 一 个 通 过我们能够得出的均方极限。 因此， 它还证明了这一均方极限与 相对应。因此，用前面的命题可证 几乎处处成立。
