《高中数学函数的极值与导数课件苏教版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学函数的极值与导数课件苏教版选修1-1（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数的极值与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0,那么函数y=f(x) 在 为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内f/（x）0 得f(x)的单调 递增区间;解不等式 f/（x）0 右侧 f/(x)0 , 那么f(x0)是极小值.解方程f/(x)=0.当f/(x)=0时:x(-,- a)-a(- a,0)(0,a )a(a,+ )f(x )+ 0 - - 0 +f(x) 极大值值-2a 极小值值2a 故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极 小值f(a)=2a.例2:求函数 的极值.解:函数的定义域为令 ,解得x1=-a,
2、x2=a(a0).当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:练习1:求函数 的极值.解:令 =0,解得x1=-1,x2=1.当x变化时, ,y的变化情况如下表 :x(-,- 1)-1(-1,1) 1 (2,+ )y - 0 + 0 -y 极大值值-3 极小值值3 因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求a、b的值.(2)若 ,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜率为k,试讨论k-1成立的充要条件 . 解:(1)由 得x=0或x=
3、4a/3.故4a/3=4,a=6. 由于当x0时, 故当x=0时, f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1. (2)等价于当 时,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)=3x2-2ax-10对一切 恒成立. 由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1. 反之,当a1时,g(x)0对一切 恒成立.所以,a1是k-1成立的充要条件. 例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值. 解: 由题意, 应有根 ,故5a=3b,于是:(1)设a0,列表如下:x -1 (- 1,1)1+ 0 0 +f(x )极大 值值极小 值值
4、由表可得 ,即 .又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)设a1时, ,此时x=1是极 值点. 从而所求的解为a=4,b=-11.第二课时一、复习: 1.设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x) 的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极 大值与极小值统称极值. 2.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:(1):如果在x0附近的左侧 右侧 那么, f(x0)是极大值;(2):如果在x0附近的左侧 右侧
5、那么, f(x0)是极小值. 3.理解函数极值的定义时应注意以下几点:(1)函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内部的点而不会是端点. (2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值. (3)极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小. (4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的. (5
6、)导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.4.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利用导数判断函数极值的基本方法.例1:已知函数 f(x)满足条件:当x2时, ;当x2,由条件可知 ,即:当 时,x20,故 有不相等的两实根、,设设.又设g(x)=-ax2-2bx+a, 由于-a0,g(x)的图象开口 向下,g(x)的值在的右正左负,在的左正右负.注意到 与g(x)的符号相同,可知为极小值点, 为极大值点.(2)由f()=-1和f()=1可得:两式相加,并注意到+=-2b/a,于是有:从而方程 可化为x2=1,它的两根为+1和-1, 即=-1,=1.由故所求的值为a=2,b=0.
