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1、 三角形中的有关公式 1.内角和定理: 三角形三内角之和为, 即 A+B+C=. 注 任意两角和与第三个角总互补; 任意两半角和与第三个角的半角总互余; 锐角三角形三内角都是锐角任两角和都是钝角设 ABC 中, 角 A、B、C 的对边为 a、b、c, 任意两边的平方和大于第三边的平方.三内角的余弦值为正值2.正弦定理: = = =2R(R 为三角形外接圆的半 径). sinC c sinA a sinB b注 正弦定理的一些变变式: (1)a:b:c=sinA:sinB:sinC; (3)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC. 已知三角形两边一对角运用正弦定理求解时, 务必
2、注意可 能有两解.3.余弦定理: a2=b2+c2-2bccosA, cosA= 等, 常选用余 弦定理鉴定三角形的形状. b2+c2-a2 2bc4.射影定理: a=bcosC+ccosB.5.面积积公式: S= aha= absinC= r(a+b+c)(其中 r 为为三角形 内切圆圆半径). 1 21 21 2特别提醒: (1)求解三角形中的问题时问题时 , 一定要注意 A+B+C= 这这一特性: A+B=-C, sin(A+B)=sinC, sin =cos ; (2)求 解三角形中含有边边角混合关系的问题时问题时 , 常运用正弦定理、 余弦定理实现边实现边 角互化.A+B 2 C 2
3、(2)sinA= , sinB= , sinC= ;c 2Ra 2Rb 2R1. ABC 中, 已知BC=8，AC=5，三角形的面积为积为 12，则则cos2C= . 2.在 ABC 中, AB 是sinAsinB 成立的_条件. 充要 7 25- 2.在 ABC 中, AB 是cos2Acos2B 成立的_条件. 3. ABC 中, O为为坐标标原点,点A（1, ）, B（ ,1）,当ABC 的面积积达最大值时值时 ， 充要 .在 ABC 中, A、B、依次成等差数列,则则是sin2A+sin2C 的取值值范围围是 . 一、课前热身：解: (1)(a+c)(a-c)=b(b-c), b2+c
4、2-a2=bc. 例1.锐角 ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边. (1)若 (a+c)(a-c)=b(b-c), 求 A 的大小; (2)y=2sin2B+sin(2B+ ) 取最 大值时, 求 B 的大小. 6故由余弦定理得 cosA= b2+c2-a2 2bc 1 2= . (2)y=2sin2B+sin(2B+ )=1-cos2B+sin2Bcos +cos2Bsin 666=1- cos2B+ sin2B 1 23 2=1+sin(2B- )6A 是锐角三角形的内角, 0A . 2A= . 3当且仅当 B= 时取等号. 3B= . 3冲刺强化1.在 ABC 中, (1+tanA)(1+tanB)=2, 则则log2sinC= . 1 2- 2. ABC 中, a, b, c 分别别是角 A, B, C 所对对的边边, 若 (a+b+c) (sinA+sinB-sinC)=3asinB, 则则C= .a2+b2-c2 4 33.在 ABC 中, 若其面积积S= , 则则C=_. 60 30 4.在 ABC 中, a=60, b=1, 其面积为积为 3 , 则则ABC 外接圆圆的 直径是_.2 39 3 5.在 ABC 中, AB=1, BC=2, 则则角 C 的取值值范围围是_. (0, 6申博太阳城 申博 申博官方网 寺鬻搋
