常微分方程与运动稳定性第一篇

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1、常微分方程与运动稳定性天津大学研究生课程常微分方程与运动稳定性 既是一门重要的基 础理论课程，又有广泛的工程应用背景，在 机械，电力能源，电讯，化工，航空航天， 生物，经济和社会等领域发挥着越来越大的 作用。掌握本课程的基本解法和基本定理， 是学习后续课程(非线性振动、分岔混沌理论 、控制)所必需的，同时也为今后的科学研究 工作打下良好的基础。 绪 论主要研究内容包括： 常微分方程研究常微分方程(组)基础 理论及其具体解法；运动稳定性研究李雅普诺夫稳定性 理论及其在若干系统中的应用；定性理论研究平面动力系统的初等 奇点分布，相轨线形态和作图法， 以及极限环的性质。第一篇 常微分方程引引 言言常

2、微分方程已有悠久的历史，而且继续保 持着进一步发展的活力，其主要原因是它的 根源深扎在各种实际问题之中。牛顿最早采用数学方法研究二体问题中的 常微分运动方程，从而在理论上证实了地球 绕太阳的运动轨道是一个椭圆，澄清了当时 关于地球将坠毁于太阳的一种悲观论点。另 外，莱布尼兹也经常与牛顿在通信中互相提 出求解微分方程的挑战。其后，许多著名数学家也都遵循这一历 史传统，把数学研究结合于当时许多重大的 实际力学问题，在这些问题中通常离不开常 微分方程的求解法。海王星的发现是通过对 常微分方程的近似计算得到的；十九世纪在 天体力学上的主要成就应功于拉格朗日对线 性常微分方程的工作。自本世纪二十年代以来

3、，常微分方程的 应用范围更是不断扩大并深入到机械，电讯 ，化工，生物，航空航天，经济和其它社会 学科的各个领域，各种成功的实例是不胜枚 举的。本篇主要介绍常微分方程的一些基本定理 、常用解法和计算机应用。第一章 基本概念 中介绍微分方程及其解 的定义和几何解释，以及重要的理论基础： 解的存在性、唯一性定理、和解对初值(及参 数)的连续性、可微性定理；第二章 初等积分法 以恰当方程和积分因 子为主线贯穿各种求解法；近似解法；第三章 线性微分方程组 本篇的重点，它 是第二篇以及以后一些专业课程的基础，重 点放在具体解法上。 参考教材丁同仁，常微分方程教程，高教出版社，1991叶彦谦，常微分方程讲义

4、，人教出版社，1982陆启韶，常微分方程与定性理论，1990天大编，常微分方程与定性理论周义仓，常微分方程及其应用，科学出版社，2003第一章 基本概念第一节 微分方程及其解的定义第二节 存在和唯一性定理第三节微分方程及其解的几何解释第一节 微分方程及其解的定义 定义 1 由单个自变量x，这个自变量的未知函数 y=y(x)，及其直到n阶导数组成的函数方程(1.1) 叫作 n 阶常微分方程。(1.2 ) (1.3 )(1.4)(1.5)如果函数F对未知函数 y和它的各阶导数y, , y(n) 的全体均是一次的，则是线性常微分方程，否 则为非线性常微分方程。 (1.2)和(1.5)是线性的；(1.

5、3)和(1.4)是非线性的。分别都是微分方程(1.2)在区间(-,0)或(0, +)上的 一个解 (C是任意的常数).对一切xJ都成立，则 y=j (x) 是微分方程(1.1)在 定义区间J上的一个解。定义2 设函数 y=j (x) 在区间J上连续，且有直到n 阶的连续导数，且.可以验证不是(1.2) 的解(1.1)(1.2)分别都是在区间(-, +)上的一个解.也是在区间(-, +)上的一个解(C1和C1是任意 常数)。对于微分方程(1.5)：(1.2)解:定义3 设n阶微分方程(1.1)的解 y=j (x,C1, C2, Cn) 包含n个独立的任意常数C1, C2, Cn,则称为通解；y=

6、j (x) （不包含任意常数）称为特解。n 个任意常数C1, C2, Cn是独立的含义：j , j, ，j (n-1)关于C1, C2, Cn的Jacobi行列式是方程(1.5)的通解；是(1.5)的特解。例如：自由落体运动方程初值问题mgBy =y(t)y地面上式两侧对t积分两次，得到C1, C2 任意常数。 若给定初值条件： 可确定：结论：自由落体运动在给定初 值条件下，惟一地确定一个解(1.6)一般情况下 n 阶微分方程的初值形式如下，第二节 存在和唯一性定理 Lipschiz 条件：毕卡定理：一般情况下 n 阶微分方程的初值形式如下，(1.6)毕 卡 定 理考虑一阶微分方程(1.7)其

7、中f(x, y)是平面区域G内给定的连续函数( fGC )。 其解为：第三节 微分方程及其解的几何解释(1.8 )I 是解的存在区间；(1.8) 代表平面(x, y)上的一条光 滑曲线，即积分曲线。所以微分方程及其解的几何解释为：给定微分方程 就是给定平面区域G上的一个方向场。(1.7)fGC图（1.1）xy例1 作出微分方程的方向场。解：方向场如图（1.1）。直线 y=kx 就是微分方程的积分曲线，其中 k 是任意常数。这种用隐函数方式给出的通解，叫作方程的通积分。定义：若由隐函数(x, y) =0 确定的函数：= (x) 是 (1.1) 的解， 则 (x, y) =0 为(1.1)的通积分

8、。- C是任意常数。(1.9)第二章 初等积分法第一节 全微分方程（恰当方程）第二节 变量分离的方程第三节 一阶线性方程第四节 积分因子法第一节 全微分方程（恰当方程）(2.1)(2.2)则(2.1)为全微分方程。就是方程(2.1)的一个通积分。(2.3)例 求解微分方程解：(2.4)是全微分方程的充要条件:(2.5)在R内成立。而且，当(2.5)成立时，方程(2.4)的通积分为(2.6)或者(2.7) x0 , y0 x , y x , y0 (2.6) x0 , y (2.7) 则对x积分第一式:再将它代入上面第二式，即得由此得出：为方程(2.8)的通积分，其中C为任意常数。(2.9)解：

9、例2. 求解微分方程 (2.8)第二节 变量分离的方程微分方程(2.10)为变量分离的方程 (2.10)若函数P(x,y)和Q(x,y)均可表示为x的函数与 y的函数的乘积。令：(2.10) =(2.11)例：它的通积分为： (2.12)(2.10) =因此它的通积分为：(2.13) 问题: (2.13) 与 (2.11) 是否同 解?(2.11)积分得：例. 求解微分方程：(*) 并作出积分曲线族的草图。(*) =利用方向场并参照通积分表达式，作出积分曲线族:xyABO图(2.1)第三节 一阶线性方程一阶线性非齐次方程(2.14)当 q(x)=0 时, (2.14)的齐次方程(2.15 )

10、先讨论(2.15)的求解:通解为:其中 p(x)，q(x) C , 当 x I = ( a, b ).(2.15) 讨论(2.14)的求解,将其改写为：(2.16 )- 恰当方程. 其通积分为： 积分因子法 (2.16)的解：其中C是一个任意常数。(2.17)cc例. 求解微分方程解： 计算积分因子乘以原式两端得积分得通解：其中C为任意常数。或初值问题的解为(2.18)通常把通解(2.17)中的不定积分写成变上限的定积分，即1. (2.15)的解恒等于零或恒不等于零。 2. 线性方程的解是整体存在的，即(2.14)或(2.15) 的任一解都在 I 上存在。 3. (2.15)任意解的线性组合仍

11、为其解，(2.14)和 (2.15)的任意解之和仍为(2.14)的解，(2.14)的任意 两解之差是(2.15)的解。 4. (2.14)任一解加上(2.15)的通解为(2.14)的通解。5. 线性方程的初值问题(2.18)的解存在且唯一。线性微分方程的一些性质：(2.14)(2.15 )由(2.20)得第四节 积分因子法考虑方程(2.19)(2.20)积分记得积分因子为：积分因子例. 求解微分方程解：乘以积分因子得：所以通积分为：C为常数第五节 近似解法 逐次迭代法Picard迭代序列 Taylor 级数 Euler折线法微分中值定理第三章 线性微分方程组第一节 一般理论第二节 常系数线性微

12、分方程组第三节 高阶线性微分方程记：考虑 n 阶线性微分方程第一节 一般理论非齐次线性方程组(3.1)(3.1)的相应的齐次线性方程组为：(3.2)存在和唯一性定理线性微分方程组(3.1)在区间上有并且只有一个满 足初值条件 (3.3)1.1 齐次线性微分方程(3.4)定理 1 齐次线性微分方程组 (3.2) 在 axb 上有 n 个线性无关的基本解组 (3.5 )它的通解为：(3.6)线性无关 即存在线性映射 H: Rn假设已知 (3.7) 是微分方程(3.2)的 n 个解组。它的分量形式为：称行列式为解组(3.7)的朗斯基(Wronsky)行列式。引理3 解组的朗斯基行列式满足下面的刘维尔

13、公式(3.8)证明： 利用行列式的基本性质可得定理 2 线性微分方程组(3.2)的解组(3.7)是线性无 关的充要条件为(3.9 )(3.10) 线性无关。从引理2的证明中可见，推论 1 解组(3.7)式线性相关的充要条件为例1 验证微分方程组的通解为：(3.11)(3.12)(3.13 )解 不难验证所以(3.13)是一个基本解组 (3.12)是通解。由解组(3.7)构成的方程(3.2)的解矩阵亦即方程(3.2)的解矩阵 Y(x) 是方程(3.2)的矩阵解，反之亦然。其中 C 是 n 维的任意常数列向量。(3.14)(3.15 )也是(3.2)的一个基解矩阵；1.2 非齐次线性微分方程组考虑

14、非齐次线性微分方程组(3.1)的通解的结构。得证利用常数变易法可以求得(3.1)的一个特解(已知(3.2)的 一个基解矩阵)。假设(3.1)有如下形式的特解： (3.16 )(3.17)(3.18)(3.17)把上式代回(3.16)式，得到非齐次线性微分方程的一个特解 ：(3.19)(3.20 )(3.21 )解： 由例1知道，相应的齐次方程组的一个基解矩阵为：例2. 求解初 值问题(3.21)例3. 求方程(3.22)的基解阵和通解(3.22)解： 原方程 (*)式的通解为第二节 常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组中的系数矩阵 A 为 n 阶常数矩阵，而 f(x) 是在 axb 连 续

15、的向量函数。(3.23 )(3.23)对应的齐次线性方程组(3.24 )如何求(3.24)的 一个基解矩阵？当 n=1 时， A=a 为一个实数，(3.24)为它的通解为：其中C为任意常数。2.1 矩阵指数函数的定义和性质定义 矩阵A的指数函数为矩阵指数函数的性质：2.2 常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵证明： 矩阵指数函数为逐项求导推论： 常系数非齐次线性微分方程组(3.23)的通解为：(3.25)(3.26) 例 假设为一个对角矩阵. 推出：例 解： 将矩阵A分解为A=E+Z(3.27 )由性质 1 可知(3.29 )由幂零矩阵的性质(3.29)和(3.28)代入(3.27)得：(3.28)单位矩阵的性质任意矩阵Jordan标准型J E+Z e xJ- 初等函数 有限和 2.3 利用Jordan型求基解矩阵Jordan标准型假设Jordan块(3.30)(3.31)(3.32)另一方面(3.33) 由P可逆，所以由上式得(3.34)亦即缺点: 求Jordan标准 型 J 和变换阵成过急 P 的计算量太大2.4 特征根法(3.24 )设齐次线性方程组有解 ( r, 待定 )r 0利用式(3.34), 应用待定系数法，可直接求得(3.24)的相应基解 矩阵，按矩阵 A 的Jordan 型特征根的重数分为两种情况：(一) A 只有单的特征根(3.35