《常微分方程§5.1存在唯一性定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程§5.1存在唯一性定理（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、存在性与唯一性第五章 线性微分方程组存在性与唯一性5.1 5.1 存在唯一性定理存在唯一性定理存在性与唯一性一、线性微分方程组的有关概念一、线性微分方程组的有关概念1 1 线性微分方程组的定义线性微分方程组的定义 定义 形如的微分方程组,称为一阶线性微分方程组.存在性与唯一性称为(5.1)的通解.存在性与唯一性2 2 函数向量和函数矩阵的有关定义函数向量和函数矩阵的有关定义(1(1) )n维函数列向量定义为注注: :对向量或矩阵的代数运算的性质,对于以函数作为元素的 矩阵同样成立.存在性与唯一性(2 )(2 )函数向量和矩阵的连续函数向量和矩阵的连续, ,微分和积分的概念微分和积分的概念可微函
2、数可微可积函数可积此时,它们的导数与积分分别定义为存在性与唯一性注注: :关于函数向量与矩阵的微 分,积分运算法则,和普通数 值函数类似.存在性与唯一性(3 ) (3 ) 矩阵向量的范数矩阵向量的范数 定义存在性与唯一性(4 ) (4 ) 向量或矩阵序列的敛散性向量或矩阵序列的敛散性(一致收敛),(一致收敛).(一致收敛),(一致收敛).存在性与唯一性如果上一致收敛.存在性与唯一性存在性与唯一性存在性与唯一性3 3 一阶线性微分方程组的向量表示一阶线性微分方程组的向量表示 对一阶线性微分方程组 :则(5.1)可写成存在性与唯一性(1)定义1(2)定义2初值问题存在性与唯一性例1验证向量是初值问
3、题解:显然存在性与唯一性4 n4 n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程组的初值问题关系组的初值问题关系 对n阶线性微分方程的初值问题若令:存在性与唯一性则有:而且:即方程(5.6)可化为存在性与唯一性存在性与唯一性显然:存在性与唯一性且:存在性与唯一性事实上,由知存在性与唯一性即且即初值问题(5.6)与(5.7)的解等价,即给出其中一个 初问题的解,可构造另一个初值问题的解.存在性与唯一性例2将初值问题化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题.解:设则有即有也即存在性与唯一性注:每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微 分方程构成方程组,反之却不成立.如: 方程组不能化为一个二阶微分方程.存在性与唯一性二、存在唯一性定理二、存在唯一性定理1 1 存在唯一性定理存在唯一性定理存在性与唯一性2 2 存在唯一性存在唯一性定理的证明定理的证明 证明共分五步完成 第一步 存在性与唯一性第二步 证明向量函数在区间上有定义且连续命题 存在性与唯一性第三步由考虑向量函数项级数：存在性与唯一性设 则存在性与唯一性第四步设即存在性与唯一性证明积分方程的连续解的唯一性. 第五步存在性与唯一性 n n阶线性微分方程的解存在唯一性阶线性微分方程的解存在唯一性定理定理推论存在性与唯一性作业作业 P184 1, 2(b), 3
