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1、数学竞赛单元训练题(高中)不 等 式 的 性 质西安铁一中 代建民 一、 选择题1.设实数a、b、c、d满足a+b=c+d= 1, ac+bd 1,则a、b、c、d四个数( ) .A.必全为正实数 B.至少有一个负数C.有且只有一个负数D.以上都不对2.已知 ABC三内角的弧度数为A、B、C,对应边长为a、b、c ,记=aA+bB+cC a+b+c,则( ) .A.0 n ( m为正整数)时,有( ) .A. f ( m)f ( n)B. f ( m)c;a+b=c+d;a+d 0) ,三个正数p、q、r满足p+q+r= 1,三个实数x1、x2、x3互不相等.求证:pf ( x1)+qf (
2、x2)+rf ( x3)f ( px1+qx2+rx3) .14.已知x , y , zR,且x+y+z= 0.求证:6( x3+y3+z3)2( x2+y2+z2)3.15.记p=( a4+b4+c4)+( a2b2+b2c2+c2a2) ,当a=b=c 0或a=b 0, c= 0时,都有p0.求证:当a、b、c为任意三角形三边长时,有p0.竞赛园地中学数学教学参考 2004年第6期47 参考答案一、 选择题1.由a+b=c+d= 1,得1 =( a+b) ( c+d)=ac+bd+ad+bc,ad+bc= 1 -( ac+bd)0,c-b=a+ 3 2 0,a 1,cb.b=a2- 2a-
3、 3 4 0a 3.c=a2+ 3 4.c-a=a2- 4a+ 3 4=( a- 1) ( a- 3) 4 0,ca.而a+b-c=a+a2- 2a- 3 4-a2+ 3 4=2a- 6 4 0,a+bc.故a、b、c是某一三角形三边的长.cosC=a2+b2-c2 2ab= -1 2 C= 120,故选A.4.xi+1 xi2, 这n个数之和可写成( x1+1 x1)+( x2+1 x2)+( xn+1 xn)2n.由于xi( i= 1,2, n)不全相等,因此( x1+1 x1)+( x2+1 x2)+( xn+1 xn) 2n.故A错.取xi=i ( i= 1,2, n)知B错,取xi=
4、i+ 1( i= 1,2, n)知C错.故应选D.事实上,取x1=1 2, x2=x3=xn= 1,满足D.5.由a2+b2=c2设a=ccos, b=csin(0 (sinn+ cosn)n+ 1-(sinn+ cosn)n=(sinn+ cosn)n(sin+ cos- 1)=(sinn+ cosn)n2sin(+ 4)- 1 0,( 4f ( n+ 1) .f ( n)f ( n+ 1)f ( n+ 2)f ( m) ,故选B.6.当cdab时,若 成立,则a+bab时,若 成立,则( a+b) cdcd( a+b)ab.( a+b)( a+b) cd ab0,bd.a、b、c、d四数的
5、大小顺序为aa2 =a+b+c 2a ,0 0.1 -( a+b+c)+ab+bc+ca-abc 01 -ab-bc-ca+abc 0.pf ( x1)+qf ( x2)+rf ( x3)f ( px1+qx2+rx3) .14.设x=rcos, y=rsin,则z= -r(cos+ sin) .当r= 0时,原不等式显然成立;当r0时,原不等式等价于证明6cos3+ sin3-(cos+ sin)32cos2+ sin2+(sin+ cos)23,即证25sin32+ 15sin22- 24sin 2- 160,即证(sin 2- 1) (5sin 2+ 4)20.此不等式显然成立, 原不等
6、式得证.15.当a=b=c 0时, p0 +0;当a=b 0, c= 0时, p02+0.(1)当0时,p=( a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2)+(+) ( a2b2+b2c2+c2a2)=1 2 ( a2-b2)2+( b2-c2)2+( c2-a2)2+(+) ( a2b2+b2c2+c2a2)0;(2)当 0时,p=( a4+b4+c4- 2a2b2- 2b2c2- 2c2a2)+(2+) ( a2b2+b2c2+c2a2)= ( a2+b2)2- 2c2( a2+b2)+c4- 4a2b2+(2+) ( a2b2+b2c2+c2a2)=( a+b+c) ( a+b-c) ( a+c-b) ( a-b-c)+(2+) ( a2b2+b2c2+c2a2) .p0.竞赛园地中学数学教学参考 2004年第6期49
